Изменения

Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:*'''<tex>\mathtt{numOfObject''' }</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта.,*'''<tex>\mathtt{a[1..n]''' }</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект., состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>,*'''<tex>\mathtt{d[i][j]''' }</tex> {{--- (}} количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1 </tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>,  '''int''' object2num(a: '''list<A>'''): numOfObject = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '' <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта''</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' '' <font color=green>// перебираем элементы которые , в лексикографическом порядке меньше меньшие рассматриваемого''</font> '''if''' элемент <tex>j </tex> можно поставить на <tex>i</tex>-e место '''then''' numOfObject += d[i][j] '''return''' numOfObjectСложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{--- }} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex>: поскольку возможны только <tex>0 </tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановки перестановке размера <tex>n</tex>,*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данная перестановка,*'''<tex>\mathtt{P[1..n]''' }</tex> {{---}} количество перестановок данного размера размера.,*'''a<tex>\mathtt{was[1..n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке,  '''int' '' permutation2num(a: '''list<int>'''): numOfPermutation = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в перестановке</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 <font color=green>// перебираем элементы, лексикографически меньшие нашего, которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте</font> данная перестановка.* '''if'''was[j] == ''false'' <font color=green>// если элемент <tex>j</tex> ранее не был использован</font> numOfPermutation += P[n - i] <font color=green>// все перестановки с префиксом длиной <tex>i-1</tex> равным нашему, и <tex>i</tex>-й элемент у которых</font> <font color=green>меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки</font> was[a[i]] = ''true'' <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован</font> '''return''' numOfPermutation Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex> и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта. == Сочетания ==Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>.Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,*<tex>\mathtt{choose[1..K]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее из <tex>K</tex> чисел от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>\mathtt{choose[0] = 0}</tex>,  '''int''' choose2num(choose: '''list<int>'''): numOfChoose = 0 '''for''' i = 1 '''to''' K '''for''' j = choose[i - 1]+ 1 ''' to''' choose[i] - 1 numOfChoose += C[N - j][K - i] '''return''' numOfChoose Асимптотика алгоритма {{---}} использовали ли <tex>O(K \cdot N) </tex> и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта. == Разбиение на слагаемые ==Рассмотрим алгоритм получения номера, в лексикографическом порядке, по данному разбиению на слагаемые числа <tex>N</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически, и будем строить его.  *<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже эту цифру поставили.*<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.  Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> {{---}} по убыванию <tex>j</tex>.  Разбиение числа, в перестановкекотором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex> (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>). Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>:

'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' ''// n - количество цифр в перестановке''<p> '''for''' j <tex dpi = 1 '''to''' a"145">d[i] - 1 '''do''' ''// перебираем элемент который может стоять на i-м месте лексикографически меньше нашего '''if''' was[j] =\left \{\begin{array}{ll} 1, & i = false ''// если элемент j ранее не был использован '''then''' numOfPermutation += P, \\ 0, & i < j \\ d[n - i] ''// все перестановки с префиксом длиной [j + 1] + d[i-1 равным нашемуj][j], и & i-й элемент у которых меньше > j \end{array} \right. '' нашего в лексикографическом порядке идут раньше данной престановки </tex> was[i] = true ''<// элемент i использован p>

'''int''' part2num(part: '''list<int>'''): numOfPart =0, last = Битовые вектора 0, sum =0 '''for''' i =1 '''to''' part.sizeРассмотрим алгоритм получения номера '''for''' j = last '''to''' part[i] - 1 <font color=green>// перебираем все элементы, лексикографически меньшие текущего, но не меньшие предыдущего</font> numOfPart += d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, которые могли начинаться с <tex>j</tex></font> sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font> last = part[i] <font color=green>/tex/ обновляем последний поставленный элемент </font> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера '''return''' numOfPart <texfont color=green>n// возвращаем ответ</texfont>.Количество битовых векторов длины Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>nN</tex> , так как всего количество возможных слагаемых {{---}} <tex>2^nN</tex>.На каждой позиции может стоять один , и ни какое из двух элементовних цикл не обработает дважды, независимо от тогопоскольку каждый раз начинает с <tex>last</tex>, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия: *'''numOfBitvector''' которое больше чем любое из обработанных чисел. Поэтому асимптотика алгоритма {{---}} искомый номер вектора<tex>O(N)</tex>.*'''bitvector[1..n]''' Асимптотика алгоритма {{---}} данный вектор. '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '''if''' bitvector[i] == 1 '''{''' numOfBitvector += <tex> O (N)</tex> и <tex>O(N^2 ^ (n - i) '''}'''</tex> на предподсчёт.