Изменения

Рассмотрим следующий случайДля того, чтобы создать необходимое распределение вероятностей, достаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты". ДопустимНапример, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения для создания схемы с вероятностями <tex>1/3</tex>. Проведем следующий экспериментдвумя исходами $A_1$ и $A_2$: подкинем монету дважды, и, если выпадет два раза орел, эксперимент не удался, повторим его.Предположим, что у нас есть последовательность таких экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140"center>p $P(A_1)= \frac{3}{4}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p $ $,$ $P(A_2)= \frac{1}{4}$</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количеству экспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <texcenter>можно из датчика случайных двоичных разрядов получить два двоичных разряда $\delta_1$ и $\{1delta_2$ и,2например,...при $\}</tex> и для <tex> k delta_1 = \ge 1 </tex>: <tex dpi delta_2 = "140">{p}(X = k) = q^{k-1}p</tex>$ выработать исход $A_2$,поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k - 1 </tex> неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению, называется геометрическим распределениема в остальных случаях $A_1$.Так как <tex> q < 1 </tex>, можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения: Аналогично для схемы с четырьмя исходами: <tex dpi = "140"center>E$P(XA_1) = \sum\limits_frac{k = 03}^{\infty16}kq^{k-1}p $ $,$ $P(A_2)= \frac{p1}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k16} $ $,$ $P(A_3)= \frac{p8}{q16} \frac{q}{$ $,$ $P(1 - qA_4)^{2}} = \frac{14}{p16} =$</center>можно получить четыре двоичных разряда $\delta_1$ $,$ $\frac{1}{delta_2$ $,$ $\frac{3}{4}} = delta_3$ $,$ $\fracdelta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$, четырём $-$ $A_4$.Если же вероятности исходов не кратны $2^{4}{3-k}$, можно применить два различных варианта действий. </tex>Дисперсия вычисляется аналогично:#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями: #Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Найдём $k$, для которого $r <tex dpi = 2^k$. Предложим схему с $k$ двоичными разрядами, в которой $r$ наборов объявляются "140неудачными">Dи требуют повторного эксперимента (Xпока не встретится удачный) = \frac{q}{p. Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{2-k}} = \frac{4}{9} </tex>Обобщим$, тем схема будет эффективнее.ДопустимКоличество случайных двоичных разрядов $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, у нас есть распределение <tex>p</tex>$-$ это случайная величина. Нам нужно получить распределение <tex>q</tex>Её математическое ожидание:* Для начала, рассмотрим случай, когда все <texcenter>p_i $E\lambda = \frac{1}{k}</tex>, а в распределениии <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex>. Проводим эксперимент, если попадаем в область, пересекающуюся с <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex>, то увеличиваем её и повторяем эксперимент. На рисунке ниже красным обозначенно распределение <tex>q</tex>. Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\cdot1+\frac{1}{k4}</tex>. Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \cdot2+\frac{k1}{k-18}, max(\cdot3+\frac{k1}{k-116}) = 2 (</tex>при <tex>k = 2) </tex>[[Файл:Sim pic1.JPG‎|400px]]* Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по прежнему равновероятны <tex>(p_i = \cdot3+\frac{1}{k16})</tex>, а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sumcdot4 = 1\limits_frac{j=17}^{n8}q_j = 1)$</texcenter>. Повторим эксперимент <tex>t</tex> раз. <tex> k^t \ge 2nМожно сделать схему более экономной, t \ge \log\limits_{k}2n </tex>. Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет используя свойство датчиков случайных чисел формировать не болееотдельные двоичные разряды, а целые наборы их, например в виде числа, чем равномерно распределённого в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>$[[Файл:Sim pic20, 1]$.JPG‎|400px]]* <tex>Образуем по данному набору вероятностей $p_i, \sum\limits_$ накопленные суммы $s_i$: $s_0 = 0; s_i = s_{i}p_i = -1, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex> Берем <tex> + p_i </tex>, и пусть оно максимальной длины. Проводим <texi > t </tex> экспериментов0$. <tex>{p_i}^t < Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\frac{1}{2n}</tex>gamma$ определяется такой индекс $i$, все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\fracдля которого $s_{i-1}{2}</tex>. Нужно <tex> t \ge gamma \log\limits_{p}\frac{1}{2n} </tex> le s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. [[Файл:Sim pic3Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд. Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам.JPG‎|400px]]Вывод: из любого исходного распределения можно получить любое нужное нам распределениеСамую эффективную схему предложил в 1977 г. А. Уолкер.</wikitex>