Изменения
Новая страница: «Для Римана было <tex>f_n \rightrightarrows f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, следовательно, <tex>f \in...»
Для Римана было <tex>f_n \rightrightarrows f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, следовательно,
<tex>f \in \mathcal{R}</tex> <br>
Равенство, подобное <tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n = \int \limits_{a}^{b} f</tex>, называется
предельным переходом под знаком интеграла.
Рассмотрим пример :
ЗДЕСЬ ДОЛЖНА БЫТЬ КАРТИНКА
<tex>\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1</tex>, <tex>f_n(k) \to 0</tex> почти всюду на <tex>[-1;1]</tex>
<tex>\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 </tex>, следовательно <tex>\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} \ne \int \limits_{-1}^{1} f</tex>
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> - измеримы на <tex>E</tex>,<tex>|f_n(x) \le M|</tex> (для <tex>\forall n = 1,2...</tex>) на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \rightrightarrows f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>
|proof=
<tex>f_n \rightrightarrows f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риса <tex>f_{n,k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>|f_{n,k}(x)| \le M</tex> при <tex>k \to \infty</tex>, <br>
<tex>|f(x)| \le M </tex>, следовательно существует <tex> \int \limits_{E} f</tex>. <br>
Осталось доказать предельное равенство. <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> <tex>E_{\varepsilon} = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)</tex>, <tex>\bar{E_{\varepsilon}} = E \setminus E_{\varepsilon}</tex>,
<br> <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>,
<tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{E} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>, <tex>\int \limits_{E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(f_n - f) < \varepsilon} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,
тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex> <br>
В силу сходимости по мере <tex>\mu E_{\varepsilon} \to 0</tex>, следовательно, начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le (2M+\mu E) \varepsilon</tex>. <br>
Так как <tex>\varepsilon \to 0</tex>, то теорема доказана.
}}
Если сравнить это доказательство с доказательством аналогичной теоремы для интеграла Римана, то видим разницу: теорема Лебега технически элементарна (по сравнению с Риманом). Это объясняется тем, что интеграл Лебега можно брать по любому измеримому множеству, а интеграл Римана привязан к отрезку.
<tex>f \in \mathcal{R}</tex> <br>
Равенство, подобное <tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n = \int \limits_{a}^{b} f</tex>, называется
предельным переходом под знаком интеграла.
Рассмотрим пример :
ЗДЕСЬ ДОЛЖНА БЫТЬ КАРТИНКА
<tex>\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1</tex>, <tex>f_n(k) \to 0</tex> почти всюду на <tex>[-1;1]</tex>
<tex>\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 </tex>, следовательно <tex>\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} \ne \int \limits_{-1}^{1} f</tex>
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> - измеримы на <tex>E</tex>,<tex>|f_n(x) \le M|</tex> (для <tex>\forall n = 1,2...</tex>) на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \rightrightarrows f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>
|proof=
<tex>f_n \rightrightarrows f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риса <tex>f_{n,k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>|f_{n,k}(x)| \le M</tex> при <tex>k \to \infty</tex>, <br>
<tex>|f(x)| \le M </tex>, следовательно существует <tex> \int \limits_{E} f</tex>. <br>
Осталось доказать предельное равенство. <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> <tex>E_{\varepsilon} = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)</tex>, <tex>\bar{E_{\varepsilon}} = E \setminus E_{\varepsilon}</tex>,
<br> <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>,
<tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{E} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>, <tex>\int \limits_{E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(f_n - f) < \varepsilon} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,
тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex> <br>
В силу сходимости по мере <tex>\mu E_{\varepsilon} \to 0</tex>, следовательно, начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le (2M+\mu E) \varepsilon</tex>. <br>
Так как <tex>\varepsilon \to 0</tex>, то теорема доказана.
}}
Если сравнить это доказательство с доказательством аналогичной теоремы для интеграла Римана, то видим разницу: теорема Лебега технически элементарна (по сравнению с Риманом). Это объясняется тем, что интеграл Лебега можно брать по любому измеримому множеству, а интеграл Римана привязан к отрезку.
