1632
правки
Изменения
м
==Эйлеров обход==
==Эйлеров цикл==
==Эйлеров граф=={{Определение|id = euler_graph|definition=Граф называется '''эйлеровым'''(англ. ''Eulerian graph''), если он содержит эйлеров цикл. Граф называется '''полуэйлеровым''', если он содержит эйлеров путь, но не содержит эйлеров цикл.
{| |[[Файл:not_eulerEuler_path_1.png|200px160px|thumb|left| Эйлерова пути нет. <br>Количество вершин нечетной степени больше двух.]] |[[Файл:not_euler2Euler_path_2.png|200px230px|thumb|none| Две компоненты связности, одна имеет ребра.]] |}
Допустим, что Пусть <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> {{--- }} вершины графа. Поскольку граф связный, то существует путь из <tex>v_1</tex> в <tex>v_2</tex>. Поскольку степень Степень <tex>v_2</tex> {{- --}} чётная, значит существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путьиз <tex>v_2</tex>. Поскольку Так как граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в <tex>v_1</tex>, и эйлеров следовательно мы получим замкнутый путь (цикл). Назовем этот цикл можно считать построенным<tex>C_1</tex>. Будем продолжать строить <tex>C_1</tex> через <tex>v_1</tex> таким же образом, до тех пор, пока мы в очередной раз не сможем выйти из вершины <tex>v_1</tex>, то есть <tex>C_1</tex> будет покрывать все ребра, инцидентные <tex>v_1</tex>. Если <tex>C_1</tex> является эйлеровым циклом для <tex>G</tex>, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть <tex>G'</tex> {{- --}} подграф графа <tex>G</tex>, полученный удалением всех рёбер, принадлежащих <tex>C_1</tex>. Поскольку <tex>C_1</tex> содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, то каждая вершина подграфа <tex>G'</tex> имеет чётную степень. Заметим что А так как <tex>C_1</tex> покрывает все ребра, инцидентные <tex>v_1</tex>, то граф <tex>G'</tex> может будет состоять из нескольких компонент связности.
'''Доказательство:'''|proof=
'''Следствие:'''{{Теорема|about=cледствие|statement=В ориентированном графе <tex>G = (V, E)</tex> существует эйлеров путь если: 1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых <tex>\operatorname{deg}^+ - \operatorname{deg}^- = 1</tex>, а для другой <tex>\operatorname{deg}^+ - \operatorname{deg}^- = -1</tex>.
'''Доказательство:'''==См. также==
Соединим ориентированным ребром вершину с большей входящей степенью с вершиной с большей исходящей степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]
rollbackEdits.php mass rollback
==Эйлеров путьОсновные определения==
{{Определение|definition=
'''Эйлеровым путем''' (англ. ''Eulerian path'') в графе называется [[Основные определения теории графов|путь]], который проходит по каждому ребру, причем ровно один раз.
}}
{{Определение|definition=
'''Эйлеров обход''' (англ. ''Eulerian circuit'') {{- --}} обход графа, посещающий эйлеров путь.
}}
{{Определение|definition=
'''Эйлеров цикл''' (англ. ''Eulerian cycle'') {{- --}} замкнутый эйлеров путь.
}}
}}
==Критерий эйлеровости==
{{Теорема
|id = eulerTheorem
|statement=
Для того, чтобы граф <tex>G = (V, E) </tex> был эйлеровым необходимо чтобы:
1. Все вершины имели четную степень.
2. Все компоненты связности , кроме, может быть , одной, не содержали ребер.
|proof=
1. Допустим в графе существует вершина с нечетной степенью. Рассмотрим эйлеров обход графа. Заметим, что при попадании в вершину и при выходе из нее мы уменьшаем ее степень на два(помечаем уже пройденые ребра), если эта вершина не является стартовой(она же конечная для цикла). Для стартовой(конечной) вершины мы уменьшаем ее степень на один в начале обхода эйлерова цикла, и на один при завершении. Следовательно вершин с нечетной степенью быть не может. Наше предположение неверно.
2. Если в графе существует более одной компоненты связности с ребрами, то очевидно, что нельзя пройти по их ребрам одним путем.
}}
{{Теорема
1. Все вершины имеют четную степень.
2. Все компоненты связности , кроме, может быть , одной, не содержат ребер.
|proof=
Рассмотрим связный граф <tex>G = (V, E)</tex> с <tex>n > 0</tex> вершинами, степени которых четны.
Рассмотрим какую - либо компоненту связности <tex>G'</tex>. Поскольку рассматриваемая компонента связности <tex>G'</tex> имеет менее, чем <tex>n</tex> вершин, а у каждой вершины графа <tex>G'</tex> чётная степень, то у каждой компоненты связности <tex>G'</tex> существует эйлеров цикл. Пусть для рассматриваемой компоненты связноти это цикл <tex>C_2</tex>. У <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> имеется общая вершина <tex>a</tex>, так как <tex>G</tex> cвязен. Теперь можно обойти эйлеров цикл, начиная его в вершине <tex>a</tex>, обойти <tex>C_1</tex> , вернуться в <tex>a</tex>, затем пройти <tex>C_2</tex> и вернуться в <tex>a</tex>. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для <tex>G</tex>, продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, в конце концов, не получим эйлеров цикл для <tex>G</tex>.
}}
{{Теорема'''Следствие:'''|about=следствие|statement=
В графе <tex>G = (V, E) </tex> существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда:
1. Количество вершин с нечетной степенью меньше или равно двум.
2. Все компоненты связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
Добавим ребро, соединяющее вершины с нечетной степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.
}}
====[[Основные определения теории графов|Ориентированный граф]]====
}}
2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
|proof=Соединим ориентированным ребром вершину с большей входящей степенью с вершиной с большей исходящей степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.
}}
==Источники== * Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977. ==См. Такжеинформации==
* Ф.Харари Теория графов. Глава 7. Обходы графов. Эйлеровы графы.
* Уилсон Р. Введение в теорию графов. {{---}} М.: Мир, 1977
* [http://e-maxx.ru/algo/euler_path Нахождение эйлерова пути]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]
