Изменения

Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> - поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.

Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> - поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex>g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex>. Его и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.

По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] в В этом представлении нет отрицательных циклов, так как поток иначе прибавление его к <tex>f</tex> минимальныйдаст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, положительных циклов нет, так как поток то вычтем его из <tex>g</tex> минимальныйи получим поток меньшей стоимости. То есть Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.

Тогда <tex>\delta \cdot g_Pf_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.