689
правок
Изменения
м
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-Если взять произвольный параллелепипед в <tex>R^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>R^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или уже нет?)}}множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
Если взять произвольный паралл. в <tex>R^?</tex>,то за счет непрерывности обьема, как функции точек паралл., мы можем строить и ячейку в нем и ячейку, включающую параллелепипед(причем обем ячеек отличается на <tex>\epsilon</tex>). Значит параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое {{Утверждение|statement=Открытое множество в <tex>R^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке. Оно будет измеримо по Лебегу. Почему? |proof=Множество точек с иррац. коорд. рациональными координатами всюду плотно.Если рассм. рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рац. рациональных точках и рац. рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды. Они , которые, как известно, измеримы. И если Если мы возьмем любую точку, то она будет сожерж . в мн-ве содержаться во множестве вместе с некоторым параллелеипипедом. Далее приближаем , эту точку к рац. коорд. -> строим паралл. можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой и содерж. , содержащийся в уже построенном параллпараллелепипеде. Класс измеримых мне-Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытомунем, поэтому, значит оно тоже измеримо.}}
Логика рассуждений: из множестваКласс измеримых множеств есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, измеримость которых ясназначит, путем счетного числа операций пересечения и лбъединения стоим интересующий нас объектоно тоже измеримо. окда?
пофиксил недочеты
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная '''мера Лебега ''' (можно просто <tex>\lambda</tex>).
}}
{{Определение
|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} '''измеримые по Лебегу'''.
}}
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс({{TODO| t = почему?}})Это, в некотором смысле, парадоксальный результат, потому что искусственных объектов, которые мы определили в начале всего курса матанализа, оказалось ужасно, невероятно, невообразимо много по сравнению с познаваемыми нами рациональными числами.
{{Утверждение
|statement=Бог есть.
|proof=
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, <s>б</s>Бог есть.
}}
Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово стоим интересующий нас объект.
{{TODO|t=Далее следует теорема о лямбда со звездочкой. жуткое доказательство.Далее идт ряд ВАЖНЫХ следствий==}}
