689
правок
Изменения
м
ЗначитПо непрерывности <tex> f </tex>, из того, что <tex> f(\bar x_j) \le a </tex>, следует <tex>f(\bar x)\leq a \Rightarrow </tex>, то есть, <tex> \bar x \in F(f\leq a)</tex>. {{TODO|t=ШТО}}
Нет описания правки
Так как <tex> F </tex> — замкнутое, и <tex>\bar x_j \in F</tex>, то предел тоже принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>.
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей, то есть замкнуто. Но, как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо.
4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
}}
