Изменения

{{TODO[[Предельный переход в классе измеримых функций|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]]

Функции Пусть функции <tex>f_n, f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, множества <tex>E(|f_n - f| \geq \delta)</tex>, где <tex>\delta > 0</tex>. Это измеримые множества, измеримы.

|statement=<tex>\mu E<+\infty</tex>, <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} f</tex>. При этом, <tex>\mu E<+\infty</tex> {{---}} существенно

ПродемонстрируемКак мы выяснили ранее, что условие конечности меры важно{{Утверждение|statement=удобно рассматривать <tex>E'=\mu E <+bigcup\infty</tex> limits_{{---p=1}} существенно|proof=Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=^\infty \bigcap\beginlimits_{casesm=1}0 &, 0 ^\infty \bigcup\leq x < limits_{n=m}^\\1 &, xinfty E(|f_n - f| \geq n\end{cases}frac1p)</tex>;по условию теоремы, <tex>\mu E ' = \mathbb{R}^+0</tex>.

Фиксируем <tex>x</tex>. Пусть <tex>B_m = \bigcup\limits_{n=m}^\to infty E(|f_n - f| \inftygeq \frac1p) \supset B_{m+1}</tex>, тогда <tex>\exists N forall p: n > x B = \bigcap\Rightarrow f_n(x) limits_{m= 01}^\infty B_m </tex>. Значит, очевидно, содержится в <tex>f_n(x) \to 0E'</tex> всюду на ,поэтому, по полноте меры, <tex>\mathbb{R}^+mu B = 0</tex>. <tex>\lambda(\mathbb{R^+}) = +\infty</tex>

ЗначитПо монотонности меры, <tex>\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\inftymu B_i</tex>{{---}} убывающая числовая последовательность. Она ограничена, значит, у неё есть предел.

ЗначитПокажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: <tex>f_n \notmu B_m \to \Rightarrow 0</tex>, хотя стремится к <tex>mu B = 0</tex> почти всюду.}}

Для этого воспользуемся тем, что <tex>E'=\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^sup \infty mu E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>{{---}} конечен.

По условию теоремыТак как <tex>B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m</tex>, то<tex>\mu overline B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \overline B_m</tex> (здесь под <tex> \overline X </tex> имеется в виду дополнение <tex> X </tex> до <tex> E' = 0</tex>).

<tex>\forall p=1, 2, \ldots : \bigcap\limits_B_m</tex> {{m=1---}}^убывающая (<tex>B_m \infty \bigcap\limits_supset B_{n=m+1}^\infty (...)</tex>), очевиднозначит, содержится в дополнения растут: <tex>E'\overline B_m \subset \overline B_{m+1}</tex>.

Отсюда, по полноте мерыЗначит, <tex>\mu overline B = \bigcapoverline B_1 \limits_{m=1}^cup (\infty overline B_2 \bigcapsetminus \limits_{n=m}^overline B_1) \infty cup (...\overline B_3 \setminus \overline B_2) = 0\cup \ldots</tex>.

<tex>B_m = \bigcupoverline B \limits_{n=m}^\infty subset E(|f_n - f| </tex>. Значит, <tex>\geq mu B \frac1p) leq \supset B_{mmu E < +1}\infty</tex>.

По монотонности меры, <tex>\mu B_isigma</tex> {{---}} убывающая числовая последовательность.Значит, у неё есть предел. Покажемаддитивности, что это <tex>0</tex>. Или, более общий факт: <tex>\mu B_m \to overline B = \mu\overline B_1 + \mu(\overline B_2 \setminus\overline B_1) + \mu (\bigcapoverline B_3 \limits_{n=1}^setminus \overline B_2) + \infty B_n = 0cdots</tex>.

Для этого воспользуемся тем, что В силу конечности <tex>\sup \mu E</tex> , <tex>\mu(\overline B_{m + 1} \setminus \overline B_{m}) = \mu \overline B_{m + 1} ---\mu \overline B_{m}} конечен</tex>.

Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд {{---}} предел частичных сумм, получаем <tex>\mu\overline B = \bigcapmu\overline B_1 - \mu \limits_{m=1}^overline B_1 + \mu\overline B_2 - \mu \overline B_2 + \mu\overline B_3 - \infty B_mcdots</tex>

Так как частичная сумма этого ряда с номером <tex>\bar B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \bar B_m</tex>— не что иное, как <tex>\overline B_m</tex> {{---}} убывающая (<tex>B_m \supset B_{m+1}</tex>), значит, дополнения растут: то <tex>\bar overline B_m \subset rightarrow \bar B_{m+1}overline B </tex>.

Значит, <tex>\bar B mu B_m = \bar B_1 mu E - \cup (mu \bar B_2 overline B_m</tex>, <tex>\setminus mu B = \bar B_1) mu E - \cup (mu \bar B_3 overline B</tex>, отсюда <tex>\setminus mu B_m \bar B_2) to \cup \ldotsmu B</tex>.

<tex>\bar B \subset E</tex>. Значит, В нашем случае <tex>\mu B \leq \mu E < +\infty =0</tex>.

По <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>forall p : \mu\bar B bigcup\limits_{n= m}^\mu\bar B_1 + \muinfty E(|f_n - f| \bar B_2 \setminus\bar B_1) + \mu(\bar B_3 \setminus geq \bar B_2frac1p) + \cdotsto 0</tex>.

В силу конечности <tex>\mu E</texforall \delta >, <tex>\mu(0\bar B_2 \setminus exists p_0 \bar B_1) = in \mu mathbb{N} : \bar B_2 - frac1{p_0} \mu leq \bar B_1delta</tex>

Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд {{---}} предел частичных сумм, получаем <tex>\mu\bar B = \mu\bar B_1 E(|f_m - f| \mu \bar B_1 + geq \mudelta) \bar B_2 subset E(|f_m- f|\mu geq \bar B_2 + \mu\bar B_3 - frac1{p_0}) \cdotsto 0</tex>

Значит, <tex>f_n \mu B_m = \mu stackrel{E - \mu \bar B_m</tex> <tex>}{\Rightarrow} f</tex> <tex>\mu B = \mu E - \mu \bar B</tex>по определению.}}

ЗначитПродемонстрируем теперь, <tex>\mu B_m \to \mu B</tex>что условие конечности меры важно:

В нашем случае {{Утверждение|statement=<tex>\mu B E < +\infty </tex> — существенно.|proof=Рассмотрим функции <tex>f_n(x)=\begin{cases}0&, 0 \leq x < n\\1 &, x\geq n\end{cases}</tex>, <tex>E = \mathbb{R}^+</tex>.

При фиксированном <tex>x</tex>, для всех <tex>n > N: n > x \forall p : Rightarrow f_n(x) = 0</tex>. Значит, <tex>f_n(x) \mu xrightarrow[n \bigcupto \limits_infty]{n=m} 0</tex> всюду на <tex>\mathbb{R}^+</tex>. <tex>\infty Elambda(|f_n - f| \geq \frac1pmathbb{R^+}) = +\to 0infty</tex>

Возьмем <tex>\forall delta=\delta frac12</tex>, <tex> 0E(|f_n - f|\ geq \exists p_0 \in delta) = \mathbb{NR} : ^+(|f_n(x)| \frac1{p_0} geq \leq frac12) = [n; +\deltainfty)</tex>

Значит, <tex>\lambda E(|f_m f_n- f| \geq \delta) = +\subset E(|f_m-f|\geq \frac1{p_0}) \to 0infty</tex>

Значит, <tex>f_n \stackrel{E}{not\rightarrow} fRightarrow 0</tex>, хотя стремится к <tex>0</tex> почти всюду.