Изменения

{{Теорема|about=о мере подграфика|statement=<tex> G(f) </tex> — измеримо, <tex> \lambda_{n+1}(G) Цилиндры = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>{{TODO|t=не очень понимаю, что доказывается}}|proof= Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.

Базовым случаем будет тот{{Теорема|about=о мере подграфика|statement=Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>|proof=

<tex> f </tex> — ограниченная функция0) Базовым случаем будет тот, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной мерыкогда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

<tex> f </tex> — ограниченная функция, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной меры. <tex> f </tex> — измерима, следовательно, интеграл Лебега существует.: <tex> \exists \int\limits_E f d \lambda_n </tex>

Рассмотрим <tex> \exists tau: E = \intbigcup\limits_E f d \lambda_n limits_{j=1}^p e_j </tex>— дизъюнктны.

<tex> m_j = \tau: E inf\limits_{e_j} f(x), M_j = \bigcupsup\limits_{j=1e_j}^p e_j f(x) </tex> — дизъюнктны.

<tex> m_j \underline s (\tau) = \infsum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j} f</tex>, <tex> \overline S (x\tau), M_j = \supsum\limits_{j=1}^p M_j \lambda_n e_j} f(x) </tex>

<tex> \underline s (\tau) G_j = e_j \sumtimes [0, m_j] </tex>, <tex> \limits_{joverline G_j =1}^p m_j e_j \lambda_n times [0, M_j] </tex> — цилиндры с основанием <tex> e_j </tex>и высотами <tex> m_j, M_j </tex>.

Представим <tex> \underline G_j G</tex> как <tex> \underline G = \bigcup_{j= e_j 1}^p \times [0underline G_j </tex>, m_j] где <tex> G_j </tex> — дизъюнктны. Аналогично, для <tex> \overline G </tex>.

Ясно, что <tex> \lambda_{n+1} underline G \underline G_j = m_j subset G \subset \lambda_n e_j overline G </tex> .

Итак, <tex> \lambda_{n+1} \underline overline G(\tau) = \underline s(sum\limits_{j=1}^p \tau) </tex> В силу определения <tex> m_j </tex> ясно, что <tex> lambda_{n+1} \underline G(overline G_j = \tau) sum\subset G(f) </tex> — подграфик. Аналогично с <tex> limits_{j=1}^p M_j : G(f) \subset lambda_n e_j = \overline GS(\tau) </tex> {{TODO|t=расписать}}

<tex> \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline sS(\tau) - \underline s (\tau) </tex> — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau </tex>.

По критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости подграфик <tex> G </tex> оказывается измеримым и <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) = \overline S(\tau) </tex>

Далее разбор случаев: 1) <tex> \lambda_n E = + \infty </tex>. <tex> E_m , </tex>(стрелка вверх o_O). <tex> \lambda_n E_m < + \infty f </tex>. — ограничена на <tex> E = \bigcup\limits_m E_m </tex> — по . (По сигма-конечности меры. ?) Представим E как объединение возрастающей последовательности множеств <tex> f </tex> — ограничена на <tex> E E_m </tex>. с конечной мерой, пусть <tex> G_m </tex> (стрелка вверх) — подграфик сужения f на множестве <tex> f E_m </tex> пшшш. <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — измеримаизмеримо.

<tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n </tex>. По сигма-аддитивности интеграла = <tex> \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Формула доказана(по сигма-аддитивности интеграла).

2) Если <tex> f </tex> не ограничена на <tex> E </tex> произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:

Пусть <tex> G_m </tex> — подграфик срезки <tex> f_m </tex>. Подграфики срезок образуют возрастающую последовательность и <tex> G = \bigcup\limits_m G_m</tex>. Так как срезки — функция ограниченная, из первого пункта: <tex> \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex>

срезки — функция ограниченная. <tex> \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex>; с другой стороны <tex> f_n \to f, G_m </tex> (стрелка вверх), <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — подграфик измерим и по сигма-аддитивности <tex> \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Формула выведена в общем случае.