Изменения

Принцип Кавальери <tex> f </tex> суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик <tex> f </tex>: <tex> G(видимоf) = \{ (x, выше он и написанy, z) был доказан нами для одномерных сечений: (x, y) \in E, но он легко переносится на сечения любой размерности 0 \le z \le f(нам нужны двумерныеx, y)\} </tex>.

Пусть <tex> z = fПользуясь принципом Кавальери (xон был доказан нами для одномерных сечений, yно легко переносится на сечения любой размерности, в нашем случае, на двумерные) \ge 0 </tex>., получаем:

<tex> \lambda_3 G(f) = \int\limits_{ \mathbb R} \lambda_2(x, y, z) : E(x, yx_1) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} dx_1 </tex>.

Для любого(или почти любого?) <tex> x_1 </tex>, можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции <tex> f_{x_1}(x_2) </tex>. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: <tex> \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2)dx_2 </tex>. Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G = \int\limits_E f d\lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство. (Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex>. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).