Изменения
Добавил теорему о линейности дисперсии для независимых случайных величин и исправил определение
== Определение ==
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] <tex>\xi</tex>, определенной на некотором [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]], называется числоматематическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где символ <tex>\xi</tex> - случайная величина, а <tex>E</tex> обозначает - символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
== Замечания ==
* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
== Линейность ==
{{Теорема
|statement=
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
|proof=
* Из определения:
*: <tex>D(\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =</tex>
: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>
* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - независимые случайные величины.
:Действительно,
: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} P(\xi = a)P(\eta = b) =</tex>
: <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
}}
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]];
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D\xi=0,</tex> то <tex>\xi =E\xi;</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
