165
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> также является компактным.
===Доказательство теоремы===
Итак, рассмотрим оператор <tex>A^*: F^* \to E^*</tex>.
По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.
Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1\</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.
