315
правок
Изменения
создал по материалу из других конспектов
==Математическое ожидание случайной величины==
{{Определение
|definition='''Математическое ожидание'''(<tex>E\xi</tex>) - мера среднего значения случайной величины, равна <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
}}
{{Теорема
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
}}
==Пример==
Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»
<tex> \xi(i) = i </tex>
<tex> E\xi = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5</tex>
==Линейность математического ожидания==
{{Теорема
|statement=
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.
|proof=
1. <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
2. <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> — действительное число
}}
==Использование линейности==
Рассмотрим два примера
===Пример 1===
Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
Пусть <tex> \xi </tex> — случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а <tex> \eta </tex> — возвращает второе число.
Очевидно, что <tex> E(\xi)= E(\eta)</tex>.
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
Получаем ответ
<tex>E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6</tex>
===Пример 2===
Пусть у нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> — совпал ли у строк <tex> i </tex>-тый символ.
Найдем математическое ожидание этой величины
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> — <tex>i</tex>тые символы соответствующих строк.
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}</tex>.
Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} </tex>
{{Определение
|definition='''Математическое ожидание'''(<tex>E\xi</tex>) - мера среднего значения случайной величины, равна <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
}}
{{Теорема
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
}}
==Пример==
Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»
<tex> \xi(i) = i </tex>
<tex> E\xi = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5</tex>
==Линейность математического ожидания==
{{Теорема
|statement=
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.
|proof=
1. <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
2. <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> — действительное число
}}
==Использование линейности==
Рассмотрим два примера
===Пример 1===
Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
Пусть <tex> \xi </tex> — случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а <tex> \eta </tex> — возвращает второе число.
Очевидно, что <tex> E(\xi)= E(\eta)</tex>.
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
Получаем ответ
<tex>E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6</tex>
===Пример 2===
Пусть у нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> — совпал ли у строк <tex> i </tex>-тый символ.
Найдем математическое ожидание этой величины
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> — <tex>i</tex>тые символы соответствующих строк.
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}</tex>.
Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} </tex>
