1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
# <tex>a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 5, 6
# <tex>b \& a</tex> {{---}} modus ponens 3, 7
Докажем то же самое, только без использования теоремы о дедукции.
# <tex>a \&b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 1
# <tex>(a \& b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \&b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 2
# <tex>(a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} modus ponens 1, 2
# <tex>a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 1
# <tex>a \& b \rightarrow a \& b</tex> {{---}} modus ponens 4, 3
# <tex>a \& b \rightarrow a</tex> {{---}} схема аксиом 4
# <tex>b \rightarrow a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} схема аксиом 3
# <tex>(b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a))</tex> {{---}} схема аксиом 1
# <tex>a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 7, 8
# <tex>a \& b \rightarrow b</tex> {{---}} схема аксиом 5
# <tex>(a \& b \rightarrow b) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} схема аксиом 2
# <tex>(a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 10, 11
# <tex>a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 9, 12
# <tex>(a \& b \rightarrow a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \&b \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} схема аксиом 2
# <tex>(a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 6, 14
# <tex>a \& b \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 13, 15
Чтобы получить из доказательства с предположениями доказательство без предположений, нужно воспользоваться доказательством теоремы о дедукции. Для начала надо написать "план доказательства" из строчек вида <tex>\alpha \rightarrow \gamma_i</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} предположение, а <tex>\gamma_i</tex> {{---}} промежуточное утверждение из доказательства, и доказывать каждое утверждение из плана доказательства так, как это расписано в доказательстве теоремы о дедукции.
Докажем, что <tex>a \rightarrow \neg a \rightarrow b</tex>. По теореме о дедукции, если <tex>a, \neg a \vdash b</tex>, то <tex>a \rightarrow \neg a \rightarrow b</tex>.
# <tex>a</tex> {{---}} предположение
# <tex>a \rightarrow (\neg b \rightarrow a)</tex> {{---}} схема аксиом 1
# <tex>(\neg b \rightarrow a)</tex> {{---}} modus ponens 1, 2
# <tex>\neg a</tex> {{---}} предположение
# <tex>\neg a \rightarrow (\neg b \rightarrow \neg a)</tex> {{---}} схема аксиом 1
# <tex>(\neg b \rightarrow \neg a)</tex> {{---}} modus ponens 4, 5
# <tex>(\neg b \rightarrow a) \rightarrow (\neg b \rightarrow \neg a) \rightarrow \neg \neg b</tex> {{---}} схема аксиом 9
# <tex>(\neg b \rightarrow \neg a) \rightarrow \neg \neg b</tex> {{---}} modus ponens 3, 7
# <tex>\neg \neg b</tex> {{---}} modus ponens 6, 8
# <tex>\neg \neg b \rightarrow b</tex> {{---}} схема аксиом 10
# <tex>b</tex> {{---}} modus ponens 9, 10
[[Категория: Математическая логика]]
