94
правки
Изменения
→Краткое содержание предыдущего семестра
*'''Банаховым пространством''' называется нормированное линейное пространство полное по метрике, порождённой нормой.
*'''Пространство непрерывных функций''' — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке <tex>[a,b]</tex> функции (обычно обозначается <tex>{\mathrm C}[a,b]</tex>). '''Норма ''' в этом пространстве определяется следующим образом: <tex>||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</tex>
* '''Теорема Рисса — Фреше:''' Для любого непрерывного линейного функционала <tex>f</tex> на Гильбертовом пространстве <tex> H</tex> существует единственный вектор <tex>y \in H</tex> такой, что <tex>f(x)= \langle x,y \rangle</tex> для любого <tex>x \in H</tex>. При этом норма линейного функционала <tex>f</tex> совпадает с нормой вектора <tex>y</tex>: <tex>\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{\langle y,y \rangle}</tex>. Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над <tex>H</tex> изоморофно пространству <tex>H</tex>.
*'''Теорема (Хан-Банах) ''' о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на подпространстве <tex>L</tex> линейного пространства <tex>X</tex> и удовлетворяющий условию <tex>|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L</tex>, где <tex>p(x)</tex> — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве <tex>X</tex>) то <tex>f(x)</tex> может быть продолжен на все пространство <tex>X</tex> с сохранением этого условия.
*'''Теорема (Хан-Банах) ''' о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на линейном многообразии <tex>L</tex> линейного нормированного пространства <tex>X</tex>, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
*Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
