72
правки
Изменения
Новая страница: «'''* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ''' 1. Упорядоченная пара - семейство из двух элементов. 2. Декартово п...»
'''* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ'''
1. Упорядоченная пара - семейство из двух элементов.
2. Декартово произведение множеств X и Y - множество упорядоченных пар (x; y) : x <tex> \in </tex> X, y <tex> \in </tex> Y.
3. Операции над множествами:
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>);
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
# <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество:
#* <tex> A \cup \varnothing = A </tex>
#* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>
#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
# <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество».
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
'''4*'''. Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем.
Множество пополнено элементами <tex> +\infty </tex> и <tex> -\infty </tex>. Причем для <tex> \forall a \in \mathbb R </tex> выполняется неравенство
<tex> -\infty < a < +\infty </tex>.
Операции допишите или придумайте на экзамене
'''5*'''. Подмножество в <tex> \mathbb R </tex>, ограниченное сверху.
6. Элемент <tex> a \in A </tex> называется максимальным элементом множества, если <tex> \forall b \in A : b \le a </tex>.
7. Последовательность
{{Определение
|definition=
'''Последовательность''' {{---}} [[Отображения|функция]] натурального аргумента:
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
<tex> f(n) </tex> {{---}} значения <tex> f </tex>, <tex> f(n) = a_n </tex>
<tex> f(N) </tex> {{---}} множество значений <tex> f </tex>
}}
<tex> c_n = a_n + b_n </tex> {{---}} сумма последовательностей.
<tex> c_n = a_n \cdot b_n </tex> {{---}} произведение последовательностей.
В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.
8. Образ множества <tex> А </tex> под действием отображения <tex> f </tex> - множество всех f(x), где <tex> x \in A </tex>.
Прообраз множества <tex> B </tex> относительно отображения <tex> f </tex> : <tex> f^{-1}(B) = </tex> { <tex> x \in X, f(x) \in B </tex> }
9. Инъекция, сюръекция, биекция
'''Инъективное''' отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:
: <tex> \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) </tex>
'''Сюръективное''' отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
: <tex> \forall b \in B: \exists a : b = f(a) </tex>
'''Биективное''' отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.
10. Целая часть числа y - наименьшее число <tex> x \in \mathbb Z : x \le y </tex>
11. Законы де Моргана
{{Теорема
|about=
де Моргана
|statement=
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
}}
12. Векторозначная функция - функция, областью значений которой является не числовое множество, а что-нибудь посложнее. (например, <tex> \mathbb R ^{n} </tex>) (c) ИМ
'''13*'''. Координатная функция
14. Графиком функции f называется множество <tex> G = </tex> { <tex> (x, y) : x \in X, y \in f(x) </tex> } (В оригинале Г c индексом f)
15. Композиция отображений
<tex> (f \circ g)(x) = f(g(x)) </tex>
'''16*'''. Сужение и продолжение отображений.
'''17*'''. Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)
18. Предел последовательности (определение на языке окрестностей)
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
19. Пусть <tex>X</tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]].
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> {{---}} прямое произведение множества <tex>X</tex> на себя
{{Определение
|id=def1
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника
}}
Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''.
'''Подпространство?'''
'''20*'''. Окрестность точки, проколотая окрестность, '''окрестности в R с чертой'''.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> B(a, r) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
<tex> \varepsilon </tex> - окрестность точки <tex> x = B(x, \varepsilon) </tex>.
Проколотая <tex> \varepsilon </tex> - окрестность точки <tex> x </tex> не включает в себя точку <tex> x </tex>.
21. Векторное пространство
Множество X называется векторным пространством над полем <tex> \mathbb R </tex>, если введены 2 операции:
# сложения, то есть каждой паре элементов множества <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in L</math> ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый <math> \mathbf{x} + \mathbf{y} \in L</math> и
# умножения на скаляр (то есть элемент поля <math>P</math>), то есть любому элементу <math>\lambda \in P</math> и любому элементу <math>\mathbf{x} \in L</math> ставится в соответствие единственный элемент из <math>L \left( P \right) </math>, обозначаемый <math> \lambda\mathbf{x}\in L(P) </math>.
При этом на операции накладываются следующие условия:
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in L</math> (''коммутативность сложения'');
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L</math> (''ассоциативность сложения'');
# существует такой элемент <math>\theta \in L</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in L</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>L</math> не пусто;
# для любого <math>\mathbf{x} \in L</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in L</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор'').
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов'').
Элементы множества <math>L</math> называют '''векторами''', а элементы поля <math>P</math> — '''скалярами'''.
Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
22. Норма в векторном пространстве <math>V\ </math> над полем вещественных или комплексных чисел — это отображение <math>p\colon V \to \mathbb{R+}</math>, обладающее следующими свойствами:
:# <math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0;</math>
:# <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;</math>
:# <math>\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)</math> (''неравенство треугольника'');
:# <math>\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).</math>
Эти условия являются ''аксиомами нормы''.
23.
'''Скалярным произведением''' в векторном пространстве <math>\mathbb L</math> над полем <math>\mathbb C</math> называется функция <math>\langle x, y \rangle</math> для элементов <math>x, y \in \mathbb L</math>, принимающая значения в <math> \mathbb C </math>, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
# для любых трех элементов <math> ~x_1, x_2 </math> и <math> ~y </math> пространства <math> \mathbb L</math> и любых чисел <math> ~\alpha , \beta </math> справедливо равенство <math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle</math> (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
# для любых <math> ~x </math> и <math> ~y </math> справедливо равенство <math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math>, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
# для любого <math> ~x </math> имеем <math>\langle x,x \rangle \ge 0 </math>, причем <math>\langle x,x \rangle =0 </math> только при <math> ~x=0 </math> (положительная определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
24. Последовательность <tex> x_n </tex> сходится к бесконечности <tex> (x_n \to +\infty) </tex>, если <tex> \forall E > 0, \exists N, \forall n > N : x_n > E </tex>
25.Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум
{{Определение
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' множеством.
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c </tex>, то A называется '''ограниченным снизу''' множеством.
<tex> c </tex> называется '''нижней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
}}
{{Определение
|id = defsup
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")
}}
{{Определение
|id = definf
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
<tex> b = \inf A</tex> ("инфимум")
}}
26. Функция f ограниченна сверху на E, если <tex> \exists C : \forall x \in E, f(x) \le C </tex>
27. Функция f строго возрастает на E, если <tex> \forall x_1, x_2 \in E, x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2) </tex>
Функция f нестрого возрастает на E, если <tex> \forall x_1, x_2 \in E, x_1 < x_2 : f(x_1) \le f(x_2) </tex>
Монотонна = нестрого возрастает или убывает
28. <tex> a \in D </tex>. a - внутренняя точка D, если <tex> \exists r : B(a, r) \subset D. </tex>
D - открытое множество, если все его точки внутренние
IntD - внутренность множества D - множество всех внутренних точек множества D.
29. a - предельная точка множества D, если <tex> \forall U(a) : </tex><math>\dot{U}</math><tex>(a)</tex> <math>\cap</math> <tex> D \neq </tex> <math>\varnothing</math>
30. Множество D замкнуто, если содержит все свои предельные точки
Замыкание множества D - '''(?)''' функция, возвращающая наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее D.
a - граничная точка множества D, если в любой эпсилон-окрестности точки a есть точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие.
Граница D - множество всех граничных точек множества D.
31. <tex> Y_n = sup(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) </tex> - верхняя огибающая
<tex> Z_n = inf(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) </tex> - нижняя огибающая
Верхним пределом <tex> X_n </tex> называют предел <tex> Y_n </tex>.
Нижним пределом <tex> X_n </tex> называют предел <tex> Z_n </tex>.
32. <tex>l</tex> - частичный предел <tex> X_n </tex>, если <tex> \exists n_k : \lim\limits_{k \rightarrow \infty} X_{nk} = l</tex> <tex>(n_k в конце) </tex>
33. <tex> (x, p^{x}) </tex> - МП, <tex> (y, p^{y}) </tex> - другое МП, <tex> D \subset X </tex>, a - предельные точки D.
<tex> f: D \to Y </tex>
<tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L </tex>
#Определение по Коши: <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \varsigma > 0 : \forall x (x \in D, x \neq a, p(x, a) < \varsigma) p^y(f(x), L) < \varepsilon </tex>
#На языке окрестностей: <tex> \forall U(L) \exists V(a) : f(</tex><math>\dot{V}</math><tex>(a)</tex><math>\cap</math><tex>D) \subset U(L) </tex>
#по Гейне: <tex> \forall X_n (\forall n (X_n \in D, X_n \neq a), X_n \to a (n \to +\infty)) : f(X_n) \to L (x \to +\infty) </tex>
34. <tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D_1} </tex> называется пределом f(x) при <tex> x \to a </tex> по множеству <tex> D_1 </tex>
35. <tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (a; +\infty)} </tex> называется пределом справа
<tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (-\infty; a)} </tex> называется пределом слева
36 (верно?). Компактное множество - каждая бесконечная последовательность элементов (точек) которого имеет хотя бы одну предельную точку
37. Последовательность точек <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> метрического пространства <math>(X, \rho)</math> называется '''фундаментальной''', если она удовлетворяет '''критерию Коши''':
для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное <math>N_\varepsilon</math>, что
<math>\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ </math> для всех <math> n, m > N_\varepsilon</math>.
38. Метрическое пространство (X, p) называется полным, если любая фундаментальная последовательность из X сходится.
39. Отображение <math>f</math> называется непрерывным в данной точке <math>x</math>, если для любой окрестности <math>O_{f(x)}</math> найдется окрестность <math>O_{x}</math>, такая что <math>f(O_{x})\subset O_{f(x)}</math> самой точки.
'''40*.''' Непрерывность слева
41. Числовая функция вещественного переменного <math>f:M \subset \R \to \R</math> равномерно непрерывна, если
: <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).</math>
Здесь важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math>.
42. Степенна́я фу́нкция — функция <math>y=x^a</math>, где <math>a</math> показатель степени — некоторое вещественное числo. К степенным часто относят и функцию вида <math>y=kx^a</math>, где ''k'' — некоторый масштабный множитель.
43. Показательная функция — математическая функция <math>f(x) = a^x\,\!</math>, где <math>a</math> называется «основанием», а <math>x</math> — «показателем» степени.
44. Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: <math>\log_a b\,</math>. Из определения следует, что записи <math>\log_a b = x\,</math> и <math>a^x=b\,\!</math> равносильны.
45-46. Пусть <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки <math>x_0</math>, причем в этой окрестности <math>g</math> не обращается в ноль.
Говорят, что:
* <math>f</math> является «O» большим от <math>g</math> при <math>x\to x_0</math>, если существует такая константа <math>C>0</math>, что для всех <math>x</math> из некоторой окрестности точки <math>x_0</math> имеет место неравенство
*: <math>|f(x)| \leqslant C |g(x)|</math>;
* <math>f</math> является «о» малым от <math>g</math> при <math>x\to x_0</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> найдется такая проколотая окрестность <math>U_{x_0}'</math> точки <math>x_0</math>, что для всех <math>x\in U_{x_0}'</math> имеет место неравенство
*: <math>|f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|.</math>
Иначе говоря, в первом случае отношение <math>|f|/|g|</math> в окрестности точки <math>x_0</math> ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при <math>x\to x_0</math>.
47. Функции f и g называются эквивалентными, если f - g = o(g), т.е. если <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists Z \in B </tex> такое, что <tex> \forall x \in Z </tex> \{ <tex> x_0 </tex> } выполняется неравенство |<tex> f(x) - g(x) </tex>| < <tex> \varepsilon </tex> |<tex> g(x) </tex>|
'''48*.''' Асимптотически равные функции
49. Пусть функции <math>\varphi_{n}</math> удовлетворяют свойству: <math>\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N</math> для некоторой предельной точки <math>L</math> области определения функции ''f(x)''. Последовательность функций <math>\varphi_{n}</math>, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math>, для которого выполняются условия :<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)</math>
или эквивалентно:
: <math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>
называется ''асимптотическим разложением функции f (x)'' или её асимптотическим рядом.
Этот факт отражается:
: <math> f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).</math>
50. Наклонная асимптота — прямая вида <math>~y=kx+b</math> при условии существования пределов
# <math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k</math>
# <math>\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b</math>
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен <math>\infty</math>), то наклонной асимптоты при <math>x \to + \infty</math>(или <math>x \to - \infty</math>) не существует!
51. Функция
:<math>f\colon M\subset \R^n \mapsto \R</math>
называется дифференцируемой в точке <math>x_0</math> своей области определения <math>M</math>, если существует такая линейная функция
:<math>l\colon \R^n \mapsto \R</math>,
что для любой точки <math>x</math> области <math>M</math> верно
:<math>f(x)-f(x_0)=l(x)+o(\|x-x_0\|)</math>,
то есть, раскрывая символ «o» малое, если
:<math>\lim \limits_{x\to x_0} \frac{|f(x)-f(x_0)-l(x)|}{\|x-x_0\|} =0</math>.
Множество всех функций, определённых и дифференцируемых во всех точках области <math>M</math> является кольцом.
52.
Пусть в некоторой окрестности точки <math>x_0 \in \R</math> определена функция <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции называется такое число <math>~A</math>, что функцию в окрестности <math> U(x_0) </math> можно представить в виде
: <math>f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)</math>
если <math>~A</math> существует.
Определение через пределы:
Пусть в некоторой окрестности точки <math>x_0 \in \R</math> определена функция <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется предел, если он существует,
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.</math>
Обозначения:
: <math>f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).</math>
53. Для функции <math> \,f(x)</math>, заданной на отрезке <math>[a,\, b]</math>, каждое из выражений
<math>\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad
\,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},</math>
называется дробной производной порядка <math>\, \alpha</math>, <math>\, 0 < \alpha < 1</math>, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.
'''54*.''' Производная n-го порядка
55. Пусть функция <math>f(x)</math> бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки <math>{a}</math>. Формальный ряд
: <math>\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k</math>
называется рядом Тейлора функции <math>f</math> в точке <math>a</math>.
1. Упорядоченная пара - семейство из двух элементов.
2. Декартово произведение множеств X и Y - множество упорядоченных пар (x; y) : x <tex> \in </tex> X, y <tex> \in </tex> Y.
3. Операции над множествами:
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>);
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
# <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество:
#* <tex> A \cup \varnothing = A </tex>
#* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>
#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
# <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество».
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
'''4*'''. Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем.
Множество пополнено элементами <tex> +\infty </tex> и <tex> -\infty </tex>. Причем для <tex> \forall a \in \mathbb R </tex> выполняется неравенство
<tex> -\infty < a < +\infty </tex>.
Операции допишите или придумайте на экзамене
'''5*'''. Подмножество в <tex> \mathbb R </tex>, ограниченное сверху.
6. Элемент <tex> a \in A </tex> называется максимальным элементом множества, если <tex> \forall b \in A : b \le a </tex>.
7. Последовательность
{{Определение
|definition=
'''Последовательность''' {{---}} [[Отображения|функция]] натурального аргумента:
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
<tex> f(n) </tex> {{---}} значения <tex> f </tex>, <tex> f(n) = a_n </tex>
<tex> f(N) </tex> {{---}} множество значений <tex> f </tex>
}}
<tex> c_n = a_n + b_n </tex> {{---}} сумма последовательностей.
<tex> c_n = a_n \cdot b_n </tex> {{---}} произведение последовательностей.
В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.
8. Образ множества <tex> А </tex> под действием отображения <tex> f </tex> - множество всех f(x), где <tex> x \in A </tex>.
Прообраз множества <tex> B </tex> относительно отображения <tex> f </tex> : <tex> f^{-1}(B) = </tex> { <tex> x \in X, f(x) \in B </tex> }
9. Инъекция, сюръекция, биекция
'''Инъективное''' отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:
: <tex> \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) </tex>
'''Сюръективное''' отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
: <tex> \forall b \in B: \exists a : b = f(a) </tex>
'''Биективное''' отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.
10. Целая часть числа y - наименьшее число <tex> x \in \mathbb Z : x \le y </tex>
11. Законы де Моргана
{{Теорема
|about=
де Моргана
|statement=
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
}}
12. Векторозначная функция - функция, областью значений которой является не числовое множество, а что-нибудь посложнее. (например, <tex> \mathbb R ^{n} </tex>) (c) ИМ
'''13*'''. Координатная функция
14. Графиком функции f называется множество <tex> G = </tex> { <tex> (x, y) : x \in X, y \in f(x) </tex> } (В оригинале Г c индексом f)
15. Композиция отображений
<tex> (f \circ g)(x) = f(g(x)) </tex>
'''16*'''. Сужение и продолжение отображений.
'''17*'''. Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)
18. Предел последовательности (определение на языке окрестностей)
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
19. Пусть <tex>X</tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]].
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> {{---}} прямое произведение множества <tex>X</tex> на себя
{{Определение
|id=def1
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника
}}
Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''.
'''Подпространство?'''
'''20*'''. Окрестность точки, проколотая окрестность, '''окрестности в R с чертой'''.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> B(a, r) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
<tex> \varepsilon </tex> - окрестность точки <tex> x = B(x, \varepsilon) </tex>.
Проколотая <tex> \varepsilon </tex> - окрестность точки <tex> x </tex> не включает в себя точку <tex> x </tex>.
21. Векторное пространство
Множество X называется векторным пространством над полем <tex> \mathbb R </tex>, если введены 2 операции:
# сложения, то есть каждой паре элементов множества <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in L</math> ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый <math> \mathbf{x} + \mathbf{y} \in L</math> и
# умножения на скаляр (то есть элемент поля <math>P</math>), то есть любому элементу <math>\lambda \in P</math> и любому элементу <math>\mathbf{x} \in L</math> ставится в соответствие единственный элемент из <math>L \left( P \right) </math>, обозначаемый <math> \lambda\mathbf{x}\in L(P) </math>.
При этом на операции накладываются следующие условия:
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in L</math> (''коммутативность сложения'');
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L</math> (''ассоциативность сложения'');
# существует такой элемент <math>\theta \in L</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in L</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>L</math> не пусто;
# для любого <math>\mathbf{x} \in L</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in L</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор'').
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов'').
Элементы множества <math>L</math> называют '''векторами''', а элементы поля <math>P</math> — '''скалярами'''.
Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
22. Норма в векторном пространстве <math>V\ </math> над полем вещественных или комплексных чисел — это отображение <math>p\colon V \to \mathbb{R+}</math>, обладающее следующими свойствами:
:# <math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0;</math>
:# <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;</math>
:# <math>\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)</math> (''неравенство треугольника'');
:# <math>\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).</math>
Эти условия являются ''аксиомами нормы''.
23.
'''Скалярным произведением''' в векторном пространстве <math>\mathbb L</math> над полем <math>\mathbb C</math> называется функция <math>\langle x, y \rangle</math> для элементов <math>x, y \in \mathbb L</math>, принимающая значения в <math> \mathbb C </math>, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
# для любых трех элементов <math> ~x_1, x_2 </math> и <math> ~y </math> пространства <math> \mathbb L</math> и любых чисел <math> ~\alpha , \beta </math> справедливо равенство <math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle</math> (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
# для любых <math> ~x </math> и <math> ~y </math> справедливо равенство <math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math>, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
# для любого <math> ~x </math> имеем <math>\langle x,x \rangle \ge 0 </math>, причем <math>\langle x,x \rangle =0 </math> только при <math> ~x=0 </math> (положительная определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
24. Последовательность <tex> x_n </tex> сходится к бесконечности <tex> (x_n \to +\infty) </tex>, если <tex> \forall E > 0, \exists N, \forall n > N : x_n > E </tex>
25.Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум
{{Определение
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' множеством.
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c </tex>, то A называется '''ограниченным снизу''' множеством.
<tex> c </tex> называется '''нижней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
}}
{{Определение
|id = defsup
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")
}}
{{Определение
|id = definf
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
<tex> b = \inf A</tex> ("инфимум")
}}
26. Функция f ограниченна сверху на E, если <tex> \exists C : \forall x \in E, f(x) \le C </tex>
27. Функция f строго возрастает на E, если <tex> \forall x_1, x_2 \in E, x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2) </tex>
Функция f нестрого возрастает на E, если <tex> \forall x_1, x_2 \in E, x_1 < x_2 : f(x_1) \le f(x_2) </tex>
Монотонна = нестрого возрастает или убывает
28. <tex> a \in D </tex>. a - внутренняя точка D, если <tex> \exists r : B(a, r) \subset D. </tex>
D - открытое множество, если все его точки внутренние
IntD - внутренность множества D - множество всех внутренних точек множества D.
29. a - предельная точка множества D, если <tex> \forall U(a) : </tex><math>\dot{U}</math><tex>(a)</tex> <math>\cap</math> <tex> D \neq </tex> <math>\varnothing</math>
30. Множество D замкнуто, если содержит все свои предельные точки
Замыкание множества D - '''(?)''' функция, возвращающая наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее D.
a - граничная точка множества D, если в любой эпсилон-окрестности точки a есть точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие.
Граница D - множество всех граничных точек множества D.
31. <tex> Y_n = sup(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) </tex> - верхняя огибающая
<tex> Z_n = inf(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...) </tex> - нижняя огибающая
Верхним пределом <tex> X_n </tex> называют предел <tex> Y_n </tex>.
Нижним пределом <tex> X_n </tex> называют предел <tex> Z_n </tex>.
32. <tex>l</tex> - частичный предел <tex> X_n </tex>, если <tex> \exists n_k : \lim\limits_{k \rightarrow \infty} X_{nk} = l</tex> <tex>(n_k в конце) </tex>
33. <tex> (x, p^{x}) </tex> - МП, <tex> (y, p^{y}) </tex> - другое МП, <tex> D \subset X </tex>, a - предельные точки D.
<tex> f: D \to Y </tex>
<tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L </tex>
#Определение по Коши: <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \varsigma > 0 : \forall x (x \in D, x \neq a, p(x, a) < \varsigma) p^y(f(x), L) < \varepsilon </tex>
#На языке окрестностей: <tex> \forall U(L) \exists V(a) : f(</tex><math>\dot{V}</math><tex>(a)</tex><math>\cap</math><tex>D) \subset U(L) </tex>
#по Гейне: <tex> \forall X_n (\forall n (X_n \in D, X_n \neq a), X_n \to a (n \to +\infty)) : f(X_n) \to L (x \to +\infty) </tex>
34. <tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D_1} </tex> называется пределом f(x) при <tex> x \to a </tex> по множеству <tex> D_1 </tex>
35. <tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (a; +\infty)} </tex> называется пределом справа
<tex> \left.\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \right|_{D \cap (-\infty; a)} </tex> называется пределом слева
36 (верно?). Компактное множество - каждая бесконечная последовательность элементов (точек) которого имеет хотя бы одну предельную точку
37. Последовательность точек <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> метрического пространства <math>(X, \rho)</math> называется '''фундаментальной''', если она удовлетворяет '''критерию Коши''':
для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое натуральное <math>N_\varepsilon</math>, что
<math>\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ </math> для всех <math> n, m > N_\varepsilon</math>.
38. Метрическое пространство (X, p) называется полным, если любая фундаментальная последовательность из X сходится.
39. Отображение <math>f</math> называется непрерывным в данной точке <math>x</math>, если для любой окрестности <math>O_{f(x)}</math> найдется окрестность <math>O_{x}</math>, такая что <math>f(O_{x})\subset O_{f(x)}</math> самой точки.
'''40*.''' Непрерывность слева
41. Числовая функция вещественного переменного <math>f:M \subset \R \to \R</math> равномерно непрерывна, если
: <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).</math>
Здесь важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math>.
42. Степенна́я фу́нкция — функция <math>y=x^a</math>, где <math>a</math> показатель степени — некоторое вещественное числo. К степенным часто относят и функцию вида <math>y=kx^a</math>, где ''k'' — некоторый масштабный множитель.
43. Показательная функция — математическая функция <math>f(x) = a^x\,\!</math>, где <math>a</math> называется «основанием», а <math>x</math> — «показателем» степени.
44. Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: <math>\log_a b\,</math>. Из определения следует, что записи <math>\log_a b = x\,</math> и <math>a^x=b\,\!</math> равносильны.
45-46. Пусть <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки <math>x_0</math>, причем в этой окрестности <math>g</math> не обращается в ноль.
Говорят, что:
* <math>f</math> является «O» большим от <math>g</math> при <math>x\to x_0</math>, если существует такая константа <math>C>0</math>, что для всех <math>x</math> из некоторой окрестности точки <math>x_0</math> имеет место неравенство
*: <math>|f(x)| \leqslant C |g(x)|</math>;
* <math>f</math> является «о» малым от <math>g</math> при <math>x\to x_0</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> найдется такая проколотая окрестность <math>U_{x_0}'</math> точки <math>x_0</math>, что для всех <math>x\in U_{x_0}'</math> имеет место неравенство
*: <math>|f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|.</math>
Иначе говоря, в первом случае отношение <math>|f|/|g|</math> в окрестности точки <math>x_0</math> ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при <math>x\to x_0</math>.
47. Функции f и g называются эквивалентными, если f - g = o(g), т.е. если <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists Z \in B </tex> такое, что <tex> \forall x \in Z </tex> \{ <tex> x_0 </tex> } выполняется неравенство |<tex> f(x) - g(x) </tex>| < <tex> \varepsilon </tex> |<tex> g(x) </tex>|
'''48*.''' Асимптотически равные функции
49. Пусть функции <math>\varphi_{n}</math> удовлетворяют свойству: <math>\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N</math> для некоторой предельной точки <math>L</math> области определения функции ''f(x)''. Последовательность функций <math>\varphi_{n}</math>, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math>, для которого выполняются условия :<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)</math>
или эквивалентно:
: <math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>
называется ''асимптотическим разложением функции f (x)'' или её асимптотическим рядом.
Этот факт отражается:
: <math> f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).</math>
50. Наклонная асимптота — прямая вида <math>~y=kx+b</math> при условии существования пределов
# <math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k</math>
# <math>\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b</math>
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен <math>\infty</math>), то наклонной асимптоты при <math>x \to + \infty</math>(или <math>x \to - \infty</math>) не существует!
51. Функция
:<math>f\colon M\subset \R^n \mapsto \R</math>
называется дифференцируемой в точке <math>x_0</math> своей области определения <math>M</math>, если существует такая линейная функция
:<math>l\colon \R^n \mapsto \R</math>,
что для любой точки <math>x</math> области <math>M</math> верно
:<math>f(x)-f(x_0)=l(x)+o(\|x-x_0\|)</math>,
то есть, раскрывая символ «o» малое, если
:<math>\lim \limits_{x\to x_0} \frac{|f(x)-f(x_0)-l(x)|}{\|x-x_0\|} =0</math>.
Множество всех функций, определённых и дифференцируемых во всех точках области <math>M</math> является кольцом.
52.
Пусть в некоторой окрестности точки <math>x_0 \in \R</math> определена функция <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции называется такое число <math>~A</math>, что функцию в окрестности <math> U(x_0) </math> можно представить в виде
: <math>f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)</math>
если <math>~A</math> существует.
Определение через пределы:
Пусть в некоторой окрестности точки <math>x_0 \in \R</math> определена функция <math>f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.</math> Производной функции <math>f</math> в точке <math>x_0</math> называется предел, если он существует,
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.</math>
Обозначения:
: <math>f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).</math>
53. Для функции <math> \,f(x)</math>, заданной на отрезке <math>[a,\, b]</math>, каждое из выражений
<math>\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad
\,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},</math>
называется дробной производной порядка <math>\, \alpha</math>, <math>\, 0 < \alpha < 1</math>, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.
'''54*.''' Производная n-го порядка
55. Пусть функция <math>f(x)</math> бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки <math>{a}</math>. Формальный ряд
: <math>\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k</math>
называется рядом Тейлора функции <math>f</math> в точке <math>a</math>.
