51
правка
Изменения
→Определение
==Определение==
Язык <math>A\,\!</math> сводится по Карпу к языку <math>B\,\!</math>, если существует функция <math>f(x)\,\!</math> такая, что <math>x \in A</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x) \in b</math>.
Обычно требуют, чтобы сводящая функция была вычислима за полиномиальное время от длины входа.
==Пример==
Рассмотрим следующие языки:
<math>IND\,\!</math> и <math>CLIQUE\,\!</math> <math>–\,\!</math> множество пар <math>\langle G, k \rangle \,\!</math>, где <math>G\,\!</math> – граф, <math>k\,\!</math> – натуральное число. Пара <math>\langle G, k \rangle \,\!</math> принадлежит <math>IND\,\!</math>, если в графе <math>G\,\!</math> есть подграф с <math>k\,\!</math> вершинами, в котором все вершины не связаны ребрами. Пара <math>\langle G, k \rangle \,\!</math> принадлежит <math>CLIQUE\,\!</math>, если в графе <math>G\,\!</math> есть подграф с <math>k\,\!</math> вершинами, в котором между каждой парой вершин проходит ребро.
Существует функция <math>f\,\!</math> такая, что <math>f(\langle G, k \rangle ) = \langle H, k \rangle \,\!</math>, где <math>H\,\!</math> – граф, в котором столько же вершин, сколько и в <math>G\,\!</math>, а ребра расставлены следующим образом: если в графе <math>G\,\!</math> между вершинами <math>u\,\!</math> и <math>v\,\!</math> есть ребро, то в графе <math>H\,\!</math> это ребро не проводится, если же в графе <math>G\,\!</math> между этими вершинами его не было, то в <math>H\,\!</math> оно есть между соответствующими вершинами. Эта функция вычисляется за линейное время от длины входа, если представлять граф в виде матрицы смежности.
Заметим, что если в графе <math>G\,\!</math> был независимый подграф с <math>k\,\!</math> вершинами, то в <math>H\,\!</math> между всеми вершинами подграфа будут ребра, следовательно, в графе <math>H\,\!</math> будет клика с <math>k\,\!</math> вершинами.
С другой стороны, если в <math>H\,\!</math> есть клика с <math>k\,\!</math> вершинами, значит между всеми вершинами клики проведены ребра, а значит их не было в графе <math>G\,\!</math>. Т.о. в графе <math>G\,\!</math> был независимый подграф с <math>k\,\!</math> вершинами.
Из всего сказанного следует, что <math>IND \le CLIQUE\,\!</math>.
