Изменения
Нет описания правки
Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex>, тогда <tex>dim Y = p</tex>. К примеру, <tex>dim H_n = 2n+1
</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>\forall x \in X</tex> <tex>\exists y* \in Y</tex> т акой, что <tex>E_y(x)=||x-y*||</tex>.
|proof= <tex>e_1,..,e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть <tex>Y = \Lambda(e_1,..,e_n)</tex>. Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||</tex>, тогда ясно, что <tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>. Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha*}=(\alpha*_1,..,\alpha*_n)</tex>, тогда в качестве <tex>y*</tex> можно взять <tex>y*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.
Проверим непрерывность:
<tex>|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})|=|||x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k||-||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||</tex><tex>\le ||(x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k + \Delta \alpha_k)e_k)-(x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k)||=||\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta \alpha_k e_k|| \le\sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k|||e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex>.
Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}</tex> число, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.
Обозначим буквой <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex>, так как <tex>E_y(x)=0</tex>, <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>||x-y_n|| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>||x-y_n|| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению.
Теперь выясним на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > 2M</tex>, то есть <tex>||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > 2M</tex>. <tex>||x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \ge ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| - ||x||</tex>, то есть надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > M + ||x||</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| < M + ||x||</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума, поэтому минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \le M + ||x||\}</tex>. Если убедиться, что это множество компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением.
Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(n)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1..n}</tex>.
Проверим, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||\to||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||</tex>, но <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||\le M||x||</tex>, тогда их предел ограничен этим же, а тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, а значит <tex>T</tex> {{---}} замкнуто. <tex>|||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k||-||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||\le||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||=||\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)}</tex>.
Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто.
<tex>||\overline{\alpha}|| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex> {{---}} евклидова норма в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||=||\overline{\alpha}_k||||\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}e_k|| \le M + ||x||</tex>. Обозначим <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}</tex> и заметим, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k=1</tex>. Будем рассматривать суммы <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||</tex>, нам необходимо доказать их ограниченность. Обозначим <tex>m \inf\limits_{||\beta||=1}||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||</tex>, если эта величина больше нуля, то <tex>||\overline{\alpha}|| \le \frac{M+||x||}{m}</tex>. Нижняя грань берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции <tex>\beta_k</tex>, тогда по теореме Вейерштрасса, <tex>\exists \beta*</tex> такая, что <tex>||\beta*||=1</tex>, если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k e_k = 0</tex>, так как <tex>e_k</tex> {{---}} независимы, то <tex>\beta*_k=0</tex>, следовательно <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=0</tex>, но этого быть не может, так как <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=1</tex> по сказанному выше. Значит <tex>m>0</tex>, а значит <tex>T</tex> ограниченно, то есть <tex>T</tex> {{---}} компакт. В силу вышесказанного выше, теорема доказана.
}}
Если рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>||f||=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex> по доказанной теореме <tex>\exists T_n(f) \in A_n</tex> такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>, так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) /ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда по теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит <tex>E_n(f) \to 0</tex>
