Изменения

|proof = Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множеств. Следовательно, при первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Продолжая рассуждение приходим к выводу о том, что при <tex>k \leqslant\ n</tex>, после того как указатель на представителя в объекте обновлен <tex>\left\lceil \log k \right\rceil</tex>, полученное в результате множество должно иметь не менее <tex>k</tex> элементов. Поскольку максимальное множество может иметь не более <tex>n</tex> элементов, во всех операциях union указатель на представителя у каждого объекта может быть обновлен не более <tex>\left\lceil \log n \right\rceil</tex> раз. Необходимо также отметить, что обновление указателя на голову и next представителя, а также обновление длины списка при выполнении операции union требует <tex>O(1)</tex> времени. Таким образом, общее время, необходимое для обновления <tex>n</tex> объектов, составляет <tex>O(n \log n)</tex>.

Отсюда легко понять, что время необходимое для выполнения всей последовательности из m операций составит <tex>O(m + n \log n)</tex>. <tex>O(m)</tex> операций makeSet и findSet, работающих за константное время и суммарное время работы операций union для каждого объекта.}}

== Другие реализации ==