18
правок
Изменения
→Предподсчёт: Кажется, опечатка?
== Описание алгоритма ==
=== Предподсчёт ===Рассмотрим [[Задача о наибольшей общей подпоследовательности|задачу о наибольшей общей подпоследовательности ]] для двух последовательностей одинаковой длины. Тогда таблица динамического программирования имеет размер <tex> (n + 1) \times (n + 1) </tex>. Разобьём её на квадраты размера <tex> k \times k </tex> следующим образом: выделим каждую <tex> (k + 1) </tex>-ую строчку, начиная с первой. Аналогично выделяем столбцы.
=== Вычисление НОП на сжатой матрице ===Ответ для самой задачи НОП считается аналогично обычному алгоритму, только рассматривая не каждую ячейку таблицы, а квадраты <tex> k \times k </tex>. В очередной квадрат (пусть его левый верхний угол находится в ячейке с координатами <tex> i, j </tex>) вставляем значения предподсчитанного квадрата, соответствующего данным подстрокам и битовым маскам, и прибавляем ко всем элементам в квадрате число, стоящее в уголке над квадратом, т.е. в ячейке с координатами <tex> i - 1, j - 1 </tex>. Для нашего примера итоговая таблица выглядит так: {| style=" border-collapse:collapse; text-align: center"| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 1px"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 0"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 0 0 0 1px"|| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px;border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|} == Анализ алгоритма == === Время работы ===При предподсчёте перебирается <tex> | \Sigma | ^k </tex> (где <tex> | \Sigma | </tex> {{---}} мощность алфавита) возможных подстрок первой строки и столько же {{---}} второй строки. Для каждой возможной подстроки обеих строк перебирается по <tex> 2^{k - 1} </tex> битовых масок. Для самого предподсчёта требуется время <tex> O(k^2) </tex>. Дальнейший алгоритм поиска НОП требует <tex> O \left ( \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex>. Тогда суммарное время работы алгоритма составляет <tex> O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k^2 + \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex>.Понятно, что для получения выигрыша в производительности по сравнению с обычным алгоритмом необходимо, чтобы первое слагаемое не превышало второе. Найдём <tex> k </tex>, решив неравенство: <tex> |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k^2 \leqslant \frac{n^2}{k^2} </tex> <tex> \left ( 2 | \Sigma | \right ) ^{2k} \cdot \frac{1}{4} \cdot k^4 \leqslant n^2 </tex> <tex> \left ( 2 | \Sigma | \right ) ^k \cdot k^2 \leqslant 2n </tex>. <tex> k \log {2 | \Sigma |} + 2 \log k \leqslant \log 2 + \log n </tex>. Пренебрегая <tex> \log k </tex> и <tex> \log 2 </tex> как <tex> o(k) </tex>, получаем <tex> k \leqslant \frac{\log n}{1 + \log | \Sigma |}</tex> === Используемая память ===Для каждого предподсчитанного квадрата хранятся подстроки длиной <tex> 2k </tex>, битовые маски длиной <tex> 2k </tex> и результат {{---}} нижний «уголок» длины <tex> 2k - 1 </tex>. Как уже было подсчитано, всего предподсчитывается <tex> |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} </tex> квадратов. Дальнейший алгоритм требует <tex> O \left ( \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex>, значит, всего требуется <tex> O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot (2k + 2k + 2k - 1) + \frac{n^2}{k^2} \right ) = O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k + \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex> памяти. == Источники информации ==
* http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pmohasse/private-lcs.pdf
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]
[[Категория:Способы оптимизации методов динамического программирования]]