Изменения

Пусть <tex>T</tex> — дерево [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], <tex>root</tex> — корень <tex>T</tex>. Вершина <tex>u \ne root</tex> — точка сочленения <tex>\Leftrightarrow \exists v \in T</tex> — сын <tex>u</tex> : из <tex>v</tex> или любого потомка вершины <tex>v</tex> нет обратного ребра в предка вершины <tex>u</tex>. <tex>root</tex> — точка сочленения <tex>\Leftrightarrow root</tex> имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.

|proof=

<tex>\Leftarrow</tex>

#Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что не существует пути из <tex>v</tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> — предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> — предпоследняя вершина на этом пути, <tex>w</tex> — потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> — не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> — обратное ребро, что противоречит условию.

#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> — точка сочленения.

<tex>\Rightarrow</tex>

#Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G' \Rightarrow G \backslash u</tex> — связный <tex>\Rightarrow u</tex> — не точка сочленения.

#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения.

}}

Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.

Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \ge tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.

= Реализация =