355
правок
Изменения
→Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
=== Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции ===
{{Теорема
|id=теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
|statement=Пусть функция <tex>f</tex> выпукла вниз на <tex>\langle a, b \rangle</tex>. Тогда для любой точки <tex>x \in (a, b) \ \exists</tex> конечные <tex>f'_-(x), f'_+(x): f'_-(x) \le f'_+(x)</tex>.
|proof=Возьмем <tex>x \in (a, b)</tex> и положим
<tex>g(\xi) = {f(\xi) - f(x) \over \xi - x}, \ \xi \in \langle a, b \rangle \backslash \{x\}</tex>.
По [[#лемма о трех хордах|лемме о трех хордах]] ''g'' возрастает на <tex>\langle a, b \rangle \backslash \{x\}</tex>. Поэтому, если <tex>a < \xi < x < \eta < b</tex>, то <tex>g(\xi) \le g(\eta)</tex>, то есть
<tex>{f(\xi) - f(x) \over \xi - x} \le {f(\eta) - f(x) \over (\eta - x}</tex>.
Следовательно, ''g'' ограничена на <tex>\langle a, x)</tex> сверху, а на <tex>(x, b\rangle</tex> - снизу. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о пределе монотонной функции|теореме о пределе монотонной функции]] существуют конечные пределы <tex>g(x-)</tex> и <tex>g(x+)</tex>, которые по определению являются односторонними производными <tex>f'_-(x)</tex> и <tex>f'_+(x)</tex>. Устремляя <tex>\xi</tex> к <tex>x</tex> слева, а <tex>\eta</tex> - справа, получаем, что <tex>f'_-(x) \le f'_+(x)</tex>.
}}
=== Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции ===
