1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==
{{Утверждение
|id = th1.
|statement =
Пусть есть ряд состоящий из значений функций:
<math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
|proof =
Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>
Аналогично оценим ряд снизу.
Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает.Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>.Аналогично оценим ряд снизусверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>.Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>.В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>.}} == Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> == Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex>
{{Теорема|id = th2. |statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x =x \ln x - x + O(\ln x)} </math>|proof= Теорема о Воспользуемся ранее полученным результатом ([[#th1|оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>]]).<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </texmath> - оценка сверху.Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx =x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x =x \ln x - x + O(\ln x) </math>}}
== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==
