355
правок
Изменения
→Критерий интегрируемости Римана
=== Критерий интегрируемости Римана ===
{{Теорема
|id=критерий интегрируемости функции
|statement=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>f\in R[a,b]</tex> в том и только том случае, когда <tex>S_\tau(f) - s_\tau(f)\underset{\lambda\to0}{\to}0</tex>, то есть
<tex>\forall\epsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall\tau:\lambda_\tau<\delta\ S_\tau(f)-s_\tau(f)<\epsilon.</tex>
|proof=1. Необходимость. Пусть <tex>f\in R[a,b]</tex>. Обозначим <tex>I=\int^b_af</tex>. Возьмем <tex>\epsilon>0</tex> и подберем такое <tex>\delta>0</tex> из определения предела интегральных сумм, что для любого оснащенного дробления <tex>(\tau,\xi)</tex>, ранг которого меньше <tex>\delta</tex>,
<tex>I-{\epsilon\over3}<\sigma_\tau(f,\xi)<I+{\epsilon\over3}.</tex>
Переходя к супремуму и инфимуму по <tex>\xi</tex>, в силу [[#лемма о свойствах сумм Дарбу|свойства 1]] получаем:
<tex>I-{\epsilon\over3}\le s_\tau\le S_\tau\le I+{\epsilon\over3}</tex>,
откуда <tex>S_\tau-s_\tau\le{2\epsilon\over3}<\epsilon.</tex>
2. Достаточность. Пусть <tex>S_\tau-s_\tau\underset{\lambda\to0}{\to}0</tex>. Тогда все суммы <tex>S_\tau</tex> и <tex>s_\tau</tex> конечны.
<tex>\forall\tau\ s_\tau\le I_*\le I^*\le S_\tau</tex>,
поэтому <tex>0\le I^*-I_*\le S_\tau-s_\tau.</tex>
Так как правая часть последнего неравенства принимает сколь угодно малые значения, <tex>I_*=I^*</tex>. Обозначим общее значение <tex>I_*</tex> и <tex>I^*</tex> через <tex>I</tex> и докажем, что <tex>I=\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma</tex>. Из неравенств
<tex>s_\tau\le I\le S_\tau,\ s_\tau\le\sigma_\tau\le S_\tau</tex>
следует, что
<tex>\vert\sigma_\tau-I\vert\le S_\tau-s_\tau.</tex>
По <tex>\epsilon>0</tex> можно подобрать такое <tex>\delta>0</tex>, что для любого дробления <tex>\tau</tex>, ранг которого меньше <tex>\delta</tex>, будет <tex>S_\tau-s_\tau<\epsilon</tex>, а тогда для любого оснащения <tex>\xi</tex> такого дробления <tex>\vert\sigma_\tau(f,\xi)-I\vert<\epsilon.</tex>
}}
=== Интегрируемость на меньшем параллелепипеде ===
