355
правок
Изменения
→Аддитивность интеграла
=== Аддитивность интеграла ===
{{Теорема
|id=аддитивность интеграла
|about=Аддитивность интеграла по отрезку
|statement=Если <tex>a,b,c\in\mathbb{R},\ f\in R[\min\{a,b,c\},\max\{a,b,c\}]</tex>, то
<tex>\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf</tex>.
|proof=Пусть <tex>a<c<b,\ f\in R[a,b]</tex>. Тогда по [[#Интегрируемость на меньшем параллелепипеде|теореме об интегрируемости функции и ее сужения]] <tex>f\in R[a,c]</tex> и <tex>f\in R[c,b]</tex>. Пусть <tex>\{(\bar\tau^{(n)},\bar\xi^{(n)})\}, \{(\bar{\bar\tau}^{(n)},\bar{\bar\xi}^{(n)})\}</tex> - последовательности оснащенных дроблений отрезков <tex>[a,c]</tex> и <tex>[c,b]</tex> на <tex>n</tex> равных частей, <tex>\tau^{(n)}=\bar\tau^{(n)}\cup\bar{\bar\tau}^{(n)},\ \xi^{(n)}=\bar\xi^{(n)}\cup\bar{\bar\xi}^{(n)},\ \bar\sigma_n,\ \bar{\bar\sigma}_n</tex> и <tex>\sigma_n</tex> - соответствующие последовательности интегральных сумм. Тогда
<tex>\sigma_n=\bar\sigma_n+\bar{\bar\sigma}_n.</tex>
Остается перейти к пределу при <tex>n\to+\infty.</tex>
Если <tex>a<b<c</tex>, то по доказанному
<tex>\int_a^bf=\int_a^cf-\int_b^cf=\int_a^cf+\int_c^bf.</tex>
Если <tex>a=b</tex>, то
<tex>\int_a^bf=0=\int_a^cf+\int_c^bf.</tex>
Остальные случаи разбираются аналогично.
}}
=== Предел римановых сумм ===
