355
правок
Изменения
→Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
=== Интегрируемость на меньшем параллелепипеде ===
{{Теорема
|id=интегрируемость функции и ее сужения
|about=Интегрируемость функции и ее сужения
|statement=1. Если <tex>f\in R[a,b],\ [\alpha,\beta]\subset[a,b]</tex>, то <tex>f\in R[\alpha,\beta].</tex>
2. Если <tex>a<c<b,\ f:[a,b]\to\mathbb{R},\ f</tex> интегрируема на <tex>[a,c]</tex> и на <tex>[c,b]</tex>, то <tex>f\in R[a,b].</tex>
|proof=1. Проверим выполнение условия интегрируемости <tex>f</tex> на отрезке <tex>[\alpha,\beta]</tex>. Возьмем <tex>\varepsilon>0</tex> и подберем <tex>\delta>0</tex> из [[#критерий интегрируемости функции|критерия интегрируемости]] <tex>f</tex> на <tex>[a,b]</tex>: если ранг дробления <tex>\tau</tex> отрезка <tex>[a,b]</tex> меньше <tex>\delta</tex>, то <tex>S_\tau-s_\tau<\varepsilon</tex>. Покажем, что это <tex>\delta</tex> подходит и для критерия интегрируемости <tex>f</tex> на <tex>[\alpha,\beta]</tex>. Пусть <tex>\tau_0</tex> - дробление <tex>[\alpha,\beta],\ \lambda_{\tau_0}<\delta</tex>. Возьмем какие-нибудь дробления отрезков <tex>[a,\alpha]</tex> и <tex>[\beta,b]</tex> (если эти отрезки невырожденные) ранга, меньшего <tex>\delta</tex>, и объединим их с <tex>\tau_0</tex>. Получим дробление <tex>\tau=\{x_k\}^n_{k=0}</tex> отрезка <tex>[a,b]</tex>:
<tex>a=x_0<...<x_\mu=\alpha<x_{\mu+1}<...<x_\nu=\beta<x_{\nu+1}<...<x_n=b,</tex>
причем <tex>\lambda_\tau<\delta</tex>. Тогда
<tex>S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\underset{k=\mu}{\overset{\nu-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\varepsilon.</tex>
2. Проверим выполнение условия интегрируемости <tex>f</tex> на отрезке <tex>[a,b]</tex>. Не умаляя общности, можно считать, что <tex>f</tex> не постоянна, то есть что <tex>\omega=\omega(f)_{[a,b]}>0</tex>. Возьмем <tex>\varepsilon>0</tex>. По [[#критерий интегрируемости функции|критерию интегрируемости]] подберем такие <tex>\delta_1>0</tex> и <tex>\delta_2>0</tex>, что для любых дроблений <tex>\tau_1</tex> отрезка <tex>[a,c]</tex> и <tex>\tau_2</tex> отрезка <tex>[c,b]</tex>, удовлетворяющих условиям <tex>\lambda_{\tau_1}<\delta_1,\ \lambda_{\tau_2}<\delta_2</tex>, выполняются неравенства
<tex>S_{\tau_1}-s_{\tau_1}<{\varepsilon\over3},\ S_{\tau_2}-s_{\tau_2}<{\varepsilon\over3}.</tex>
Положим <tex>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,{\varepsilon\over3\omega}\}</tex>. Пусть <tex>\tau</tex> - дробление <tex>[a,b],\ \lambda_\tau<\delta</tex>. Точка <tex>c</tex> не обязана принадлежать <tex>\tau</tex>; пусть <tex>c\in[x_\nu,x_{\nu+1}).</tex> Обозначим
<tex>\tau'=\tau\cup\{c\},\ \tau_1=\tau'\cap[a,c],\ \tau_2=\tau'\cap[c,b].</tex>
Тогда по выбору <tex>\delta</tex>
<tex>S_\tau-s_\tau\le S_{\tau_1}-s_{\tau_1}+S_{\tau_2}-s_{\tau_2}+\omega_\nu(f)\delta<\varepsilon.</tex>
}}
=== Аддитивность интеграла ===
