29
правок
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>
Аналогично оценим ряд снизу.
Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает.Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>.Аналогично оценим ряд снизусверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>.Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>.В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>.
}}
|id = th2.
|statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} </math>
|proof= Воспользуемся ранее полученным результатом ([[#th1|(оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>)]]).
<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху.
Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.
