355
правок
Изменения
→Неравенство Гельдера
=== Неравенство Гельдера ===
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>a,b\in\mathbb{R}^n</tex> или <tex>\mathbb{C}^n,\ p>1,\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</tex>. Тогда
<tex>\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^q\right)^{1/q}</tex>.
|proof=Так как <tex>\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_kb_k\vert</tex>,
достаточно доказать неравенство Гельдера для чисел <tex>\vert a_k\vert,\ \vert b_k\vert</tex>. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что <tex>a_k,b_k\in\mathbb{R}_+</tex>. Более того, можно считать, что все <tex>b_k>0</tex>. Действительно, если неравенство Гельдера доказано для положительных чисел <tex>b_k</tex>, то
<tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k=\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_kb_k\le\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}b_k^q\right)^{1/q}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{1/q}.</tex>
Итак, пусть <tex>a_k\ge0,\ b_k>0\ \forall k</tex>. Функция <tex>f(x)=x^p</tex> строго выпукла вниз на <tex>[0,+\infty)</tex>. Положим <tex>p_k=b_k^q,\ x_k=a_kb_k^{1-q}</tex> и применим [[#Неравенство Йенсена|неравенство Йенсена]]:
<tex>\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}</tex>.
Учитывая, что <tex>p_kx_k=a_kb_k,\ p_kx_k^p=b_k^qa_k^pb_k^{p(1-q)}=a_k^p,</tex> получаем:
<tex>\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q},</tex>
<tex>\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_kb_k\right)^p\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{p-1}.</tex>
Остается возвести обе части неравенства в степень <tex>\frac{1}{p}</tex> и воспользоваться тем, что <tex>1-\frac{1}{p}=\frac{1}{q}.</tex>
}}
=== Неравенство Минковского ===
