355
правок
Изменения
→Монотонность интеграла
=== Монотонность интеграла ===
''//и другие свойства, нужные при доказательстве теорем''
{{Теорема
|about=Монотонность интеграла(свойство 4)|id=i4
|statement=Если <tex>a<b,\ f,g\in R[a,b],\ f\le g</tex>, то <tex>\int_a^bf\le\int_a^bg</tex>.
|proof=Для доказательства нужно перейти к пределу в неравенстве <tex>\sigma_\tau(f)\le\sigma_\tau(g)</tex>.
}}
{{Теорема
|about=Следствие 1
|id=i4s1
|statement=Пусть <tex>a,b,\ f\in R[a,b].</tex> Если <tex>M\in\mathbb{R},\ f\le M</tex>, то
<tex>\int_a^bf\le M(b-a),</tex>
а если <tex>m\in\mathbb{R},\ f\ge m</tex>, то
<tex>\int_a^bf\ge m(b-a)</tex>.
В частности, если <tex>f\in R[a,b],\ f\ge0</tex>, то
<tex>\int_a^b f\ge0</tex>.
}}
{{Теорема
|about=Свойство 5
|id=i5
|statement=Пусть <tex>a<b,\ f\in R[a,b],\ f\ge0,\ \exists x_0\in[a,b]:f(x_0)>0,\ f</tex> непрерывна в <tex>x_0</tex>. Тогда <tex>\int_a^bf>0.</tex>
|proof=Возьмем <tex>\varepsilon={f(x_0\over2}>0</tex> и по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Непрерывное отображение|определению непрерывности]] <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex> подберем <tex>\delta>0:\ \forall x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap[a,b]\ f(x)>f(x_0)-\varepsilon={f(x_0)\over2}</tex>.
Обозначим <tex>[\alpha,\beta]=[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap[a,b]</tex>. По [[#i4s1|следствию 1 из свойства монотонности]]
<tex>\int_a^bf=\int_a^\alpha f+\int_\alpha^\beta f+\int_\beta^bf\ge\int_\alpha^\beta f\ge(\beta-\alpha){f(x_0)\over2}>0.</tex>
'''Замечание 1.''' Без условия непрерывности <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex> утверждение неверно. Контрпримером служит функция, равная 0 всюду, кроме одной точки, в которой она положительна.
'''Замечание 2.''' Аналогичное утверждение справедливо и для двух функций:
''Пусть <tex>a<b,\ f,g\in R[a,b],\ f\le g,\ \exists x_0\in[a,b]:f(x_0)<g(x_0),\ f,g</tex>непрерывны в точке <tex>x_0</tex>. Тогда <tex>\int_a^bf<\int_a^bg</tex>.''
Для доказательства достаточно применить свойство к функции <tex>g-f.</tex>
'''Замечание 3.''' ''Пусть <tex>a<b,\ f\in R[a,b],\ f>0.</tex> Тогда <tex>\int_a^bf>0.</tex> Аналогичное утверждение верно и для двух функций.''
Действительно, из [[#Ослабленный критерий Лебега. Следствие|критерия Лебега]] легко вытекает, что на <tex>[a,b]</tex> есть точки непрерывности <tex>f</tex>.
}}
{{Теорема
|about=Свойство 6
|id=i6
|statement=Пусть <tex>a<b,\ f\in R[a,b]</tex>. Тогда
<tex>\left\vert\int_a^bf\right\vert\le\int_a^b\vert f\vert</tex>.
