Изменения

Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> — функции из определения сведения для <tex> L_1 \leq L_2 </tex> и <tex> L_2 \leq L_3 </tex> соответственно. Из определения следует: <tex>x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 \Leftrightarrow g(f(x)) \in L_3</tex>.<br>Проверим, что <tex>g(f(x))</tex> вычислима за полиномиальное время от <tex>|x|</tex>. В самом деле, сначала нужно вычислить <tex>f(x)</tex>, на это необходимо не более, чем <tex>p_1(|x|)</tex> времени (<tex>p_1</tex> — полином). Более того, длина входа <tex>g</tex> в <tex>g(f(x))</tex> не превышает того же <tex>p_1(|x|)</tex>, так как за единицу времени может быть выведен максимум один символ. Значит, вычисление <tex>g</tex> на <tex>f(x)</tex> займёт времени не более, чем <tex>p_2(|f(x)|)</tex> (<tex>p_2</tex> — тоже полином), что, по выше сказанному, не превосходит <tex>p_2(p_1(|x|))</tex>.В итоге получаем, что итоговое время работы <tex>g(f(x))</tex> не более, чем <tex>p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)</tex>, что является полиномом от <tex>|x|</tex>.