355
правок
Изменения
→Неравенство Гельдера и Минковского
=== Неравенство Гельдера и Минковского ===
{{Теорема
|about=Неравенство Гёльдера для интегралов
|statement=
Пусть <tex>f,g\in C[a,b],\ p,q</tex> - сопряженные показатели. Тогда
<tex>\left\vert\int_a^b fg\right\vert\le\left(\int_a^b|f|^p\right)^{1/p}
\left(\int_a^b|g|^q\right)^{1/q}.</tex>
|proof=
Положим <tex>x_k=a+{k(b-a)\over n}\ (k\in[0:n]),\ a_k=f(x_k)(\Delta x_k)^{1/p},\ b_k=g(x_k)(\Delta x_k)^{1/q}\ (k\in[0:n-1])</tex>. Тогда <tex>a_kb_k=f(x_k)g(x_k)\Delta x_k</tex> в силу равенства <tex>{1\over p}+{1\over q}=1</tex>. Воспользуемся [[#Неравенство Гельдера|неравенством Гёльдера для сумм]]:
<tex>\left|\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}a_kb_k\right|\le \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|b_k|^q\right)^{1/q},</tex>
которое принимает вид
<tex>\left|\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(x_k)g(x_k)\Delta x_k\right|\le \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|f(x_k)|^p\Delta x_k\right)^{1/p} \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|g(x_k)|^q\Delta x_k\right)^{1/q}.</tex>
В последнем неравенстве участвуют [[#Риманова сумма|суммы Римана]] для непрерывных функций <tex>fg,\ |f|^p,\ |g|^q</tex>. При <tex>n\to\infty</tex> суммы стремятся к интегралам от этих функций. Остается сделать предельный переход в неравенстве и воспользоваться непрерывностью модуля и степенных функций.
}}
=== Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши ===
