Изменения
Новая страница: «== Порядок элемента группы == '''Порядком''' элемента <math>a</math> группы <math>G</math> называется наим…»
== Порядок элемента группы ==
'''Порядком''' элемента <math>a</math> группы <math>G</math> называется наименьшее <math>n\in\mathbb{N}</math>, что <math>a^n = e</math>. Если такого <math>n</math> не существует, то говорят, что порядок <math>a</math> бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых <math>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</math> совпадение степеней <math>a</math>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <math>a</math> не больше <math>n-m</math>: <math>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</math>.
== Конечно порожденные группы ==
Пусть <math>S</math> - подмножество элементов группы <math>G</math>. Обозначим через <math>\langle S\rangle</math> наименьшую подгруппу, содержащую <math>S</math>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <math>S</math> и их обратных.
Если <math>\langle S\rangle = G</math>, то говорят, что <math>S</math> является '''системой образующих''' для <math>G</math>. <math>G</math> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
== Циклические группы ==
Группа <math>G</math> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <math>a</math>. Тогда все элементы группы имеют вид <math>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</math>.
Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
Примерами циклических групп являются группы <math>\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> при некотором <math>n</math>, а любая бесконечная - <math>\mathbb{Z}</math>.
=== Классификации циклических групп ===
'''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> при некотором <math>n</math>, а любая бесконечная - <math>\mathbb{Z}</math>.
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
Пусть порядок <math>a</math> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - изоморфизм. Очевидно, что <math>\phi</math> - гомоморфизм: <math>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</math>. По определению циклической группы <math>\phi</math> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <math>n>m,\,a^n=a^m</math>, тогда <math>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</math>, т.е. порядок <math>a</math> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <math>\phi</math> - биекция, а значит, и изоморфизм.
Пусть теперь порядок <math>a</math> конечен и равен <math>r</math>. Рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - гомоморфизм. Пусть <math>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z_+}</math>. Тогда:
<math>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</math>
<math>\phi</math> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <math>a^n=a^m,\, n<m<r</math>, тогда
<math>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</math>. Но <math>r>m-n>0</math>, т.е. <math>r</math> - не минимальная степень <math>a</math>, равная <math>e</math>. Противоречие. Значит, <math>\phi</math> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
'''Порядком''' элемента <math>a</math> группы <math>G</math> называется наименьшее <math>n\in\mathbb{N}</math>, что <math>a^n = e</math>. Если такого <math>n</math> не существует, то говорят, что порядок <math>a</math> бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых <math>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</math> совпадение степеней <math>a</math>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <math>a</math> не больше <math>n-m</math>: <math>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</math>.
== Конечно порожденные группы ==
Пусть <math>S</math> - подмножество элементов группы <math>G</math>. Обозначим через <math>\langle S\rangle</math> наименьшую подгруппу, содержащую <math>S</math>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <math>S</math> и их обратных.
Если <math>\langle S\rangle = G</math>, то говорят, что <math>S</math> является '''системой образующих''' для <math>G</math>. <math>G</math> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
== Циклические группы ==
Группа <math>G</math> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <math>a</math>. Тогда все элементы группы имеют вид <math>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</math>.
Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
Примерами циклических групп являются группы <math>\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> при некотором <math>n</math>, а любая бесконечная - <math>\mathbb{Z}</math>.
=== Классификации циклических групп ===
'''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> при некотором <math>n</math>, а любая бесконечная - <math>\mathbb{Z}</math>.
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
Пусть порядок <math>a</math> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - изоморфизм. Очевидно, что <math>\phi</math> - гомоморфизм: <math>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</math>. По определению циклической группы <math>\phi</math> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <math>n>m,\,a^n=a^m</math>, тогда <math>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</math>, т.е. порядок <math>a</math> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <math>\phi</math> - биекция, а значит, и изоморфизм.
Пусть теперь порядок <math>a</math> конечен и равен <math>r</math>. Рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - гомоморфизм. Пусть <math>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z_+}</math>. Тогда:
<math>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</math>
<math>\phi</math> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <math>a^n=a^m,\, n<m<r</math>, тогда
<math>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</math>. Но <math>r>m-n>0</math>, т.е. <math>r</math> - не минимальная степень <math>a</math>, равная <math>e</math>. Противоречие. Значит, <math>\phi</math> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
