Изменения

'''Список с пропусками''' (''skip-[[Файл:Skip list'') — одна из вероятностных структур данных, на ряде параллельных отсортированных связных списков с эффективностью, сравнимой с бинарными деревьями поискаexample. Все операции со списком png|thumb|550px|Пример списка с пропусками осуществляются за <tex>O(\log{n})</tex> с большой вероятностью.]]

Отсортированный '''Список с пропусками''' (англ. ''skip list'') — вероятностная структура данных, позволяющая в среднем за <tex>O(\log(n))</tex> времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов. Список с пропусками состоит из нескольких уровней, на каждом из которых находится отсортированный связный список является простейшей структурой со временем . На самом нижнем (первом) уровне располагаются все элементы. Дальше около половины элементов в таком же порядке располагаются на втором, почти четверть — на третьем и так далее, но при этом известно, что если элемент расположен на уровне <tex>i</tex>, то он также расположен на всех уровнях, номера которых меньше <tex>i</tex>. ==Построение==[[Файл:SimpleList.png|thumb|600px|Односвязный отсортированный список]] [[Файл:SkipList.png|thumb|600px|Получившийся список с пропусками]]Допустим, что нам задан односвязный отсортированный список и мы хотим построить на его основе список с пропусками, позволяющий в среднем за <tex>O(\log{n})</tex> времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов. На самом нижнем уровне списка с пропусками мы расположим исходный список. На втором уровне — всё элементы с чётными номерами, причём каждый элемент будет ссылаться на соответствующий ему элемент на нижнем уровне. Таким же образом построим и третий уровень, куда будем добавлять только те элементы, номера которых кратны четырём. Аналогичным образом построим и последующие уровни. ====Псевдокод==== Каждый уровень списка с пропусками содержит отсортированный односвязный список, у которого есть начало <tex>\mathtt{head} \ </tex> и конец <tex>\mathtt{tail}</tex>. Для выполнения операций на списке с пропусками необходимо передавать в качестве аргумента ссылку на начало односвязного списка, расположенного на самом верхнем уровне. Элементы односвязного списка — вершины <tex>\thetamathtt{node}</tex>, у которых есть <tex>3</tex> поля:* <tex>\mathtt{next}</tex> — ссылка на следующий элемент списка на данном уровне* <tex>\mathtt{key}</tex> — ключ, который хранится в данной вершине* <tex>\mathtt{down}</tex> — ссылка на соответственный элемент, лежащий уровнем ниже  '''struct''' node: '''node''' next, down '''K''' key Также известно, что <tex>\mathtt{head{.}key} = -\infty \ </tex> и <tex>\mathtt{tail{.}key} = \infty</tex>,  Функция <tex>\ \mathtt{build\_lvl} \ </tex> возвращает новый уровень списка с пропусками на основе предыдущего построенного уровня.  '''list''' build_lvl('''list''' lvl) '''list''' next_lvl next_lvl.head.down = lvl.head next_lvl.tail.down = lvl.tail '''node''' i = lvl.head.next.next '''node''' cur = next_lvl.head '''while''' i <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' i.next <tex>\neq</tex> ''null'' cur.next = node(key, i, cur.next) <font color=darkgreen>// Конструктор node(nkey, down, next)возвращает новую вершину с ключом key, ссылками down на нижний и next на следующий элемент</font> cur = cur.next i = i.next.next <font color=darkgreen>// Переход к следующему чётному элементу</font> '''return''' next_lvl  Функция <tex>\ \mathtt{skip\_list} \ </tex>принимает в качестве аргумента односвязный отсортированный список и возвращает новый список с пропусками, построенный на его основе. Одним из способов улучшить асимптотику данной структуры является добавление дополнительного   '''list''' skip_list('''list''' l): '''list''' lvl <font color=darkgreen>// Построение первого уровня</font> '''node''' i = l.head '''node''' j = lvl.head '''while''' j <tex>\neq</tex> l.tail i.next = node(j.key, обеспечивающего быстрый доступ через несколько элементов''null'', j.next) i = i.next j = j.next '''while''' lvl. size > 2 lvl = build_lvl(lvl) '''return''' lvl <font color=darkgreen>// Возвращает ссылку на начало верхнего уровня</font>

Допустим, что Алгоритм поиска элемента в нашем списке с пропусками существуют два уровнясостоит из следующих операций: # Начинаем поиск элемента в самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка, пока значение в следующей ячейке меньше# Переместимся на один уровень вниз и перейти к шагу <tex>L_12</tex>. Если мы уже на первом уровне — прекратим поиск и вернём ссылку на текущую вершину В конце алгоритма функция вернёт элемент, значение которого не меньше ключа <tex>\mathtt{key}</tex> или ссылку на конец списка на первом уровне. Если в котором содержатся все элементы и качестве случайного источника мы будем использовать честную монету, то в среднем случае будет <tex>\log{n}</tex> уровне. На самом верхнем уровне будет не более двух элементов. Тогда на каждом уровне в среднем нужно проверить не более двух элементов (в противном случае могли бы вместо двух нижних элементов проверить ещё один уровнем выше). Если же у нас будет <tex>L_2k</tex>уровней, тогда на каждом уровне в среднем будет в котором присутствует только часть из них<tex>n^{1/k}</tex> раз элементов больше, чем уровнем выше. Между одинаковыми элементами этих двух списков существуют ссылкиВ таком случае время поиска элемента <tex>-</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex>.

Тогда время работы алгоритма поиска будет зависеть от количества элементов Функция <tex>\mathtt{find}</tex> возвращает ссылку на уровне элемент, значение которого не меньше <tex>L_2\mathtt{key}</tex>. ПредставимВ случае, что если все элементы в списке с пропусками меньше <tex>\mathtt{key}</tex>, то возвращается ссылка на этот уровень у нас случайным образом попало несколько элементовконец списка с пропусками. '''T''' find('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.key < key res = res.next '''if''' res. Следовательно в худшем случае поиска down = ''null'' <font color=darkgreen>// Если мы получим следующую оценку находимся на первом уровне</font> '''return''' res <font color=darkgreen>// Мы нашли искомый элемент</font> '''return''' find(res.down, key) <font color=darkgreen>// Иначе спустимся на время работы:один уровень ниже</font>

Для того, чтобы найти элемент с ключом <tex> \approx \vert L_2\vert + \fracmathtt{key}</tex> в списке с пропусками <tex>\vert L_1\vert }mathtt{\vert L_2\vert skip} = \vert L_2\vert + </tex> необходимо запустить <tex>\fracmathtt{n}{\vert L_2\vert find}</tex>следующим образом

Минимизируя find(skip.head, мы получаем, что <tex>\vert L_2 \vert ^ 2 = n</tex>key)

В итоге время за которое мы найдем элемент ===Вставка элемента===Алгоритм вставки элементов в списке список с пропусками с двумя уровнями будет равнятьсясостоит из следующих шагов:# Начинаем вставку на самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка пока значение следующей ячейки меньше ключа.# Если мы на первом уровне — вставляем элемент. Иначе спускаемся ниже и возвращаемся к шагу <tex>2</tex>. Если нам вернули не ''null'' — вставляем элемент на текущем уровне тоже.# Кидаем монетку и если выпал «Орёл», то возвращаем ссылку на текущий элемент, иначе — ''null''. Если мы были не на первом уровне и нам вернули ''null'' — возвращаем его без броска монетки.

Делая аналогичные подсчеты для списков с пропускамиЗаметим, что вставка элемента <tex>-</tex> поиск элемента и за <tex>O(1)</tex> добавляем не более, чем в которых содержится больше уровней, получаем:* Для трех уровней: <tex> 3 \sqrt[3]{n}k</tex>* Для четырех уровней: элемент. Итого время работы <tex> 4 O(k \sqrt[4]cdot n^{n1/k})</tex>. ====Псевдокод====* Для пяти уровней: Функция <tex> 5 \sqrt[5]mathtt{ninsert}\ </tex>* Для возвращаем ссылку на вставленный элемент в списке, в котором находится <tex>\logmathtt{nres}</tex> уровней: , или ''null'', если на монете выпала «Решка».  '''node''' insert('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex> \log{n} \sqrt[\log{n}]{n} = 2 \log{n}neq</tex>''null'' '''and''' res.next.key < key res = res.next В списках с пропусками '''node''' down_node '''if''' res.down = ''null'' down_node = ''null'' '''else''' down_node = insert(res.down, в которых содержится key) '''if''' down_node <tex>\log{n}neq</tex> уровней будет себя вести очень похоже ''null'' '''or''' res.down = ''null'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл» или мы находимся на сбалансированные бинарные деревья поискапервом уровне</font> res. В идеальной данной структуре соотношение между соседними уровнями будет равняться двумnext = node(key, down_node, res. Поиск в next) '''if''' coin_flip() = ''head'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл»</font> '''return''' res.next '''return''' ''null'' '''return''' ''null'' Для того, чтобы вставить элемент с ключом <tex>\logmathtt{nkey}</tex> списке в список с пропусками будет осуществляться за асимптотическое время <tex>O(\logmathtt{nskip}</tex> необходимо вызвать следующую функцию  '''function''' insert_element('''list''' skip, '''K''' key) '''node''' res = insert(skip.head, key) '''if''' res <tex>\neq</tex>''null'' '''list''' lvl lvl.head.next = node(key, res, lvl.tail) skip = lvl

TodoАлгоритм удаления элемента выглядит следующим образом:# Начинаем удалять элемент с верхнего уровня# Переходим к следующему элементу, пока значение следующего элемента меньше ключа# Если элемент существует на данном уровне — удаляем его с этого уровня. Если мы не на первом уровне, то удаляем элемент ещё с нижнего уровня.====Псевдокод====Функция <tex>\mathtt{delete}</tex> удаляет элемент <tex>\mathtt{key}</tex> со всех уровней.  '''function''' delete('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key < key res = res.next '''if''' res.down <tex>\neq</tex> ''null'' delete(res.down, key) '''if''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key = key res.next = res.next.next Аналогично со вставкой удаление <tex>-</tex> поиск элемента за <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex> плюс удаление на каждом уровне за <tex>O(1)</tex>. Итого <tex>-</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex>. Для того, чтобы удалить элемент <tex>\mathtt{key}</tex> из списка с пропусками <tex>\mathtt{skip}</tex>, необходимо вызвать функцию <tex>\mathtt{delete} \ </tex> следующим образом:  delete(skip.head, key) ==Использование нечестной монеты==Вместо честной монеты с распределением <tex>\left\{\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{2}\right\}</tex> можно взять в качестве случайного источника нечестную монету с распределением <tex>\{p,q\}</tex> (с вероятностью <tex>p</tex> выпадает «Орёл»). Тогда математическим ожиданием количества элементов на уровне <tex>k</tex> будет <tex>n \cdot p^k</tex>. Время поиска будет равно <tex>O\left( \dfrac{1}{p} \log_{1/p} {n} \right)</tex> <tex>(</tex>на <tex>i</tex>-ом уровне элементов будет почти в <tex>\dfrac{1}{p}</tex> раз больше, чем на <tex>(i+1)</tex>-ом, значит на каждом уровне пройдём не более <tex>\dfrac{1}{p}</tex> элементов, а уровней всего <tex>\log_{1/p} {n}</tex><tex>)</tex>.  Пусть у нас добавлено <tex>n</tex> элементов. Найдём такое распределение <tex>\left\{ p, q \right\}</tex>, при котором функция <tex>\dfrac{1}{x} \log_{1/x} {n}</tex> принимает минимальное значение. Производная этой функции равна <tex>-\dfrac{\ln{n} \left( \ln {(1/x)} - 1 \right)}{x^2 \ln^2{(1/x)}}</tex>. При <tex>x = \dfrac{1}{e}</tex> производная равна нулю, вторая производная в точке <tex>x_0 = \dfrac{1}{e}</tex> больше <tex>0</tex>, значит <tex>x_0</tex> <tex>-</tex> точка минимума. Значит при распределении <tex>\left\{ \dfrac{1}{e}, \dfrac{e - 1}{e} \right\}</tex> время поиска меньше всего. Но не стоит забывать, что это лишь теоретическая оценка и в действительности придумать источник с распределением <tex>\left\{ \dfrac{1}{e}, \dfrac{e - 1}{e} \right\}</tex> почти невозможно, поэтому на практике лучше всего использовать честную монету. Для крайних распределений:* <tex>\{0, 1\}</tex> — <tex>O(n)</tex> — поиск, добавление и удаления элемента, поскольку мы вместо нескольких списков используем по факту один.* <tex>\{1, 0\}</tex> — зависит от реализации алгоритма. Если при каждой вставке у нас образуется не более одного уровня, то количество уровней будет равным <tex>n</tex>, значит время поиска будет равным <tex>O(n)</tex>. ==Применение== Список с пропусками применяется во многих приложениях, поскольку имеет ряд преимуществ:* Быстрая вставка элемента, поскольку не требуется каким-либо образом изменять другие элементы (только предыдущий элемент)* Проще реализовать, чем сбалансированные деревья или хеш-таблицы* Следующий элемент достаётся за <tex>O(1)</tex> (при условии, что у нас есть ссылка не текущий)* Легко модифицировать под различные задачи ===Нахождение всех отрезков, покрывающих данную точку=== {{Задача|definition = Пусть у нас есть запросы двух видов:# Добавить отрезок <tex>[L, R]</tex># Для заданной точки <tex>x</tex> вычислить количество отрезков, которые её покрывают. Необходимо для каждого запроса второго типа вывести ответ.}} Для решения данной задачи воспользуемся списком с пропусками. Когда нам приходит запрос первого типа, то мы просто добавляем числа <tex>L</tex> и <tex>R</tex> в список с пропусками (если какое-то из чисел уже было добавлено, то второй раз мы его не добавляем). После этого идём с верхнего уровня, и на каждом уровне мы ищем такие <tex>l</tex> и <tex>r</tex>, что значение <tex>l</tex> меньше <tex>L</tex>, а значение следующего за <tex>l</tex> элемента уже не меньше <tex>L</tex>. Аналогично ищем такое же <tex>r</tex>, только относительно <tex>R</tex>. Если значения <tex>l.next</tex> и <tex>r</tex> лежат полностью внутри отрезка <tex>[L, R]</tex>, то к самому отрезку <tex>[l.next, r]</tex> прибавляем <tex>1</tex>, а сам отрезок <tex>[L, R]</tex> разбиваем на три <tex>[L, l.next.key - 1]</tex>, <tex>[l.next.key, r.key]</tex> и <tex>[r.key + 1, R]</tex> и по отдельности решаем задачу уже для полученных отрезков (если для какого-то отрезка левая граница стала больше правой, то мы ничего не делаем). Допустим, что на каком-то уровне у нас получилось разделить отрезок <tex>[L, R]</tex> на <tex>3</tex> части. Но тогда на следующих уровнях мы будем уменьшать отрезок почти в два раза только с одной стороны, поскольку левая или правая часть отрезка будет равна <tex>l.next.key</tex> или <tex>r.key</tex>. Итого время обработки запроса <tex>O(\log{n})</tex>. Для запросов второго типа мы снова будем спускать с верхнего уровня до нижнего. На каждом уровне найдём тот элемент, значение которого не меньше точки <tex>x</tex>. Если такой элемент нашёлся, то прибавляем к ответу значение на отрезку между найденным элементом и следующим. Потом также спускаемся на один уровень вниз, если текущий уровень не был первым. Поскольку уровней всего <tex>\log{n}</tex>, а на каждом уровне обойдём не более двух элементов, то данный тип запросов мы обработаем за <tex>O(\log{n})</tex>. ==См. также==*[[Список]]*[[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]*[[Поисковые структуры данных]]*[[Skip quadtree: определение, время работы|Skip quadtree]] ==Источники информации==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA_%D1%81_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8 Википедия — списки с пропусками]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Skip_list Wikipedia — skip list]*[http://igoro.com/archive/skip-lists-are-fascinating/ igoro.com — Skip lists are fascinating]*[http://ticki.github.io/blog/skip-lists-done-right/ ticki.github.io — Skip Lists: Done Right]*[https://books.google.ru/books?id=NRrcsIJZAYMC&pg=PA157&lpg=PA157&dq=the+interval+skiplist&source=bl&ots=yqad5WH8im&sig=ACfU3U2vzUeMu_psDaWNJ4sztarLzJQsnw&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwi7ta6KyJbhAhWq5aYKHTmPBjgQ6AEwC3oECAkQAQ#v=onepage&q=the%20interval%20skiplist&f=false Eric N. Hanson — A Data Structure for Finding All Intervals That Overlap a Point стр. 155-164] [[Категория: Структуры данных]]