403
правки
Изменения
Новая страница: «{{TODO|t=вычитывай@дополняй@викифицируй}} <tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex> <tex>\s...»
{{TODO|t=вычитывай@дополняй@викифицируй}}
<tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
<tex>\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f)</tex>
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).
Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точка <tex>x</tex> принято называть ''регулярной'', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна.
<tex>f(x + t) \stackrel{\to}{t\to +0} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{t\to -0} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>
Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>
И интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>
Тем самым, в регулярной точке, <tex>s = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex>
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции
в данной точке.
Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах.
Теперь, собственно, доказательство.
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
<tex>\delta_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
<tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>.
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>
А также, <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>
<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>n + 1 \leq 2n</tex>
Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>
По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>
(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная)
(Проинтегрируем по частям) <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
Оценим каждое из слагаемых.
Первое слагаемое.
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex>
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.
Второе слагаемое
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>
<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> начиная с <tex>n : h_n < \delta</tex>
Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
}}
Важный момент. Если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>, теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>.
В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[n \to \infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>
Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
Устновим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_n(f)\|_p \stackrel[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>
}}
{{TODO|t=тут что-то явно не так, глобально}}
<tex>\delta_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\delta_p(f)\|_p</tex>
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>
|proof={{TODO|t=запилить!}}
}}
{{теорема
|statement=<tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall f\in L_p\exists g\in C : \|f - g\|<\varepsilon</tex>
|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:
Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>
<tex>\forall g \in L_p : \|\delta_n(g) - g\|_p</tex>
По только что доказанной теореме, <tex>\forall\varepsilon>0\exists\varphi\in C : \|g-\varphi\|<\varepsilon</tex>
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex><tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq</tex>
Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>
<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>
<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>, <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
Но в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
По определению предела, теорема доказана
}}
<tex>f \in L_1</tex>,<tex>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>
<tex>\sigma_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^n s_k(f)</tex>
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к <tex>f</tex> либо в индивидуальной
точке, либо в пространстве <tex>L_p</tex> (по норме этих пространств).
Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
|proof=
{{Определение
|definition=Точка <tex>x</tex> принято называть ''регулярной'', если
в этой точке существуют односторонние пределы.
}}
Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна.
<tex>f(x + t) \stackrel{\to}{t\to +0} f(x + 0), f(x - t) \stackrel{\to}{t\to -0} f(x - 0) \Rightarrow \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>
Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>
И интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>
Тем самым, в регулярной точке, <tex>s = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2</tex>
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции
в данной точке.
Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах.
Теперь, собственно, доказательство.
<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex>
<tex>\delta_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>
Надо доказать, что этот интеграл при <tex>n\to\infty</tex> стремится к <tex>0</tex>.
Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)\Phi_n(t)| dt</tex>
Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.
<tex>h_n \stackrel{\mathrm{def}}= \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex> при <tex>n > 3</tex>.
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=Воспользуемся неравенствами <tex>|\sin nt| \leq n|\sin t|</tex>
А также, <tex>\frac2\pi t \leq \sin t \leq t</tex> (<tex>t \in [0; \frac\pi2]</tex>)
<tex>\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2</tex>
<tex>\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2</tex>, <tex>n + 1 \leq 2n</tex>
Значит, <tex>\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq</tex><tex>\frac1n \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt</tex>
По условию теоремы, <tex>\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>
|proof=
<tex>\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2</tex>
<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq</tex><tex>\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt = </tex><tex>\frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t)</tex>
(<tex>\Phi</tex> {{---}} первообразная)
(Проинтегрируем по частям) <tex>= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>
Оценим каждое из слагаемых.
Первое слагаемое.
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)</tex>
<tex>h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex>
<tex>h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0</tex> по условию теоремы.
Второе слагаемое
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = </tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex>
<tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> начиная с <tex>n : h_n < \delta</tex>
Тогда <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{=}{h_n < \delta} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi</tex>
<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt < \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = </tex><tex>\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon</tex>
Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число <tex>h_n \to 0</tex>.
Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]
}}
}}
Важный момент. Если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>, теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>.
В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel[n \to \infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f</tex>
Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по <tex>x</tex>
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
Устновим теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
{{Теорема
|author=Фейер
|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \delta_n(f)\|_p \stackrel[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>
}}
{{TODO|t=тут что-то явно не так, глобально}}
<tex>\delta_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\delta_p(f)\|_p</tex>
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
|statement=<tex>f \in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \stackrel[n\to\infty]{}{\to} 0</tex>
|proof={{TODO|t=запилить!}}
}}
{{теорема
|statement=<tex>C</tex> {{---}] всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall f\in L_p\exists g\in C : \|f - g\|<\varepsilon</tex>
|proof=Используем тот факт, что в <tex>C</tex> теорема Фейера выполнена:
Суммы Фейера сходятся равномерно на <tex>\mathbb{R}</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>f\in C</tex><tex>\delta_n(f) \stackrel[n\to\infty]{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} s</tex>
<tex>\forall g \in L_p : \|\delta_n(g) - g\|_p</tex>
По только что доказанной теореме, <tex>\forall\varepsilon>0\exists\varphi\in C : \|g-\varphi\|<\varepsilon</tex>
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex><tex>\|\sigma_n(g-\varphi)\|_p [\leq\|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon] + \|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq</tex>
Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
<tex>\forall f\in C : \|f\|_p^p \leq \int\limits_Q|f(t)|^p dt</tex>
<tex>|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex><tex>\Rightarrow</tex><tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>
<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>, <tex>\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty</tex>
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
Но в <tex>C</tex> верна теорема Фейера: <tex>\forall \varepsilon>0\exists N \forall n > N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty < \varepsilon</tex>
<tex>\forall n > N\forall\varepsilon > 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \varepsilon</tex>
По определению предела, теорема доказана
}}
