355
правок
Изменения
→Замечание о представимости функции рядом Тейлора
=== Замечание о представимости функции рядом Тейлора ===
{{Теорема
|about= достаточное условие представимости функции рядом Тейлора
|statement=
Для представимости функции <tex>f(x)</tex> ее рядом Тейлора в инетрвале <tex>|x-a|<R</tex>, достаточно выполнения следующего равенства:
<tex>\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=0</tex>
при <tex>x\in(a-R,a+R)</tex>.
|proof=
Выберем произвольно и зафиксируем <tex>x\in(a-R,a+R)</tex>. Из <tex>f(x)=T_n(x)+R_n(x)</tex> следует, что
<tex>\underset{n\to\infty}{\lim}T_n(x)=\underset{n\to\infty}{\lim}(f(x)-R_n(x))=f(x)-\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=f(x)</tex>,
т.е. <tex>f(x)</tex> равна пределу частичных сумм ряда Тейлора, и поэтому функция <tex>f(x)</tex> является суммой ее ряда Тейлора.
}}
=== Дифференцирование разложений Тейлора ===
