Изменения

Рассмотрим группу <mathtex>G</mathtex> и ее нормальную подгруппу <mathtex>H</mathtex>. Пусть <mathtex>G/H</mathtex> - множество смежных классов <mathtex>G</mathtex> по <mathtex>H</mathtex>. Определим в <mathtex>G/H</mathtex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <mathtex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</mathtex>. Докажем, что <mathtex>abH=a_1 b_1 H</mathtex>. Достаточно показать, что <mathtex>a_1\cdot b_1 \in abH</mathtex>.

<mathtex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</mathtex>

Таким образом, фактормножество <mathtex>G/H</mathtex> образует подгруппу, которая называется факторгруппой <mathtex>G</mathtex> по <mathtex>H</mathtex> . Нейтральным элементом является <mathtex>H</mathtex>, обратным к <mathtex>aH</mathtex> - <mathtex>a^{-1}H</mathtex>.  [[Категория: Теория групп]]