1632
правки
Изменения
м
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>. Примеры == Конечно порожденные группы == Пусть <tex>S</tex> - подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных. Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих. == Циклические группы == Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного * Порядок любого ненулевого элемента <tex>a</tex>в группе целых чисел по сложению равен бесконечности. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>. Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же * Порядок элемента коммутируют между собой. Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbboverline{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z2}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором в группе вычетов по модулю <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>. === Классификации циклических групп === '''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>. Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен. Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> - биекция, а значит, и изоморфизм. Пусть теперь порядок <tex>a4</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\двум, \phi(n)=a^nпоскольку </tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c2+2 \equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда: <tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^mpmod 4</tex> <tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм. == p-группы ==
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение|definition== Порядок '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы ]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n ==e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. }}
=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок.
|proof=
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным.
}}
=== Примеры ===
* Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}</tex>.
* [[Циклическая группа]] порядка <tex>p^e</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
