355
правок
Изменения
→Признаки Дирихле и Абеля
=== Признаки Дирихле и Абеля ===
{{Теорема
|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть <tex>f\in C[a,b),\ g\in C^1[a,b),\ g</tex> монотонна.
'''1. Признак Дирихле.''' Если функция <tex>F(A)=\int_a^Af</tex> ограничена, а <tex>g(x)\underset{x\to b-}{\to}0</tex>, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится.
'''2. Признак Абеля.''' Если интеграл <tex>\int_a^bf</tex> сходится, а <tex>g</tex> ограничена, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится.
|proof=
1. Проинтегрируем по частям:
<tex>\int_a^bfg=\int_a^bF'g=Fg|_a^b-\int_a^bFg'=-\int_a^bFg'.</tex>
Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла <tex>\int_a^bFg'</tex>. Докажем, что последний сходится абсолютно, по признаку сравнения. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>|F(x)|\le K \forall x\ge a</tex>. Поскольку <tex>g</tex> монотонна, <tex>g'</tex> не меняет знака на <tex>[a,b)</tex>. Следовательно,
<tex>\int_a^b|Fg'|\le K\int_a^b|g'|=K\left|\int_a^bg'\right|=K|[g]_a^b|=K|g(a)|.</tex>
2. Так как <tex>g</tex> монотонна и ограничена, существует конечный предел <tex>\underset{x\to b-}{\lim}g(x)=\alpha</tex>. Функции <tex>f</tex> и <tex>g-\alpha</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле, поэтому интеграл <tex>\int_a^bf(g-\alpha)</tex> сходится, а тогда и интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится как сумма двух сходящихся:
<tex>\int_a^bfg=\int_a^bf(g-\alpha)+\alpha\int_a^bf.</tex>
}}
=== Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности ===
