Изменения
Новая страница: «== Теорема Лагранжа == {{Теорема |id=th3 |author=Лагранж |statement= В конечных группах порядок любой под…»
== Теорема Лагранжа ==
{{Теорема
|id=th3
|author=Лагранж
|statement=
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
|proof=
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
}}
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>.
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <tex>G</tex> группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>, получаем при <tex>a<p</tex>:
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
[[Категория: Теория групп]]
{{Теорема
|id=th3
|author=Лагранж
|statement=
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
|proof=
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
}}
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>.
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <tex>G</tex> группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>, получаем при <tex>a<p</tex>:
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
[[Категория: Теория групп]]
