Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
Нет описания правки
== Доказательство ==
Предположим, что <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex>. Из этого следует, что никакой <tex>\mathrm{NP}</tex>-полный язык (например, <tex>\mathrm{SAT}</tex>) нельзя свести по Карпу к полиномиальному. Будем искать такой язык <tex>A</tex>, удовлетворяющий чтобы язык <tex>L = \mathrm{SAT} \cap A</tex> удовлетворял следующим условиям:
# <tex>A L \in \mathrm{PNP}</tex> (что влечёт за собой для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\mathrm{SAT} \cap A \in \mathrm{NPP}</tex>);# <tex>\mathrm{SAT} \cap A L \not \in \mathrm{P}</tex>;# <tex>\mathrm{SAT} \not \le \mathrm{SAT} \cap AL</tex>.
Если такой язык существуетвыполнены все три свойства, то <tex>L = \mathrm{SAT} \cap A</tex> является искомым примером множестваиз <tex>in \mathrm{NP} \setminus (\mathrm{P} \cup \mathrm{NPC})</tex>.
Пусть <tex>M_1, \ldots, M_n, \ldots</tex> — все машины Тьюринга из <tex>\tilde{\mathrm{P}}</tex>, причём <tex>T(M_i(x)) \le |x|^i</tex> для любого <tex>x \in \Sigma^*</tex>.
Пусть <tex>f_1, \ldots, f_n, \ldots</tex> — аналогичное множество полиномиальных функций: <tex>T(f_i(x)) \le |x|^i</tex> для любого <tex>x \in \Sigma^*</tex>.
Для простоты будем считать, что <tex>|\Sigma| = 2</tex>. Построим такую ''неубывающую '' функцию <tex>g \in \tilde{\mathrm{P}}</tex>, что для <tex>A = \{x \in \Sigma^*: g(|x|) \% 2 = 0\}</tex> выполняются три названных свойства.
=== Построение <tex>g</tex> ===
* Пусть <tex>g(n)</tex> не имеет предела при <tex>n \to \infty</tex>. Значит, для любой <tex>M_i</tex> в <tex>L</tex> существует элемент, на котором <tex>M_i</tex> «ошибается»; аналогично, для любой полиномиальной функции <tex>f_i</tex> существует элемент, на котором <tex>f_i</tex> неверно сводит <tex>\mathrm{SAT}</tex> к <tex>L</tex>. Оба свойства выполнены.
* Пусть <tex>\lim_lim\limits_{n \to +\infty} g(n) = 2i</tex>. Значит, в нашем множестве существует такая машина Тьюринга <tex>M_i</tex>, распознающая <tex>L</tex>: , что <tex>\forall x \Rightarrow M_i(x) = ([g(|x|) \% 2 = 0 \cap wedge x \in \mathrm{SAT})</tex>. С одной стороны, <tex>M_i</tex> работает за полином, и <tex>L \in \mathrm{P}</tex>. С другой стороны, по определению <tex>A</tex>, <tex>L</tex> различается с <tex>\mathrm{SAT}</tex> в конечном числе элементов, значит, <tex>\mathrm{SAT} \le L</tex>. Получено противоречие с предположением <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex>.
* Пусть <tex>\lim_lim\limits_{n \to +\infty} g(n) = 2i + 1</tex>. Тогда в нашем множестве полиномиальных функций существует <tex>f_i</tex>: <tex>\forall x (\Rightarrow [x \in SAT) ] = ([g(|f_i(x)|) \% 2 = 0 \cap wedge f_i(x) \in \mathrm{SAT})]</tex>. С одной стороны, <tex>\mathrm{SAT} \le L</tex> с помощью <tex>f_i</tex>. С другой стороны, из определения <tex>A</tex> выходит, что язык <tex>L</tex> конечен, значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>. Снова получено противоречие с предположением.
Таким образом, при верности предположения <tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP}</tex> второе и третье свойства <tex>L</tex> выполнены.
