172
правки
Изменения
→Сбалансированное дерево поиска
Для этого возьмем любое сбалансированное дерево поиска и наполним его точками <tex>(x, y)</tex> из множества. В качестве ключа будет использоваться <tex>x</tex>-координата точки. Теперь модернизируем дерево: в каждой вершине дерева будем хранить отсортированный по <tex>y</tex>-координате массив точек, которые содержатся в соответствующем поддереве. <br>Рассмотрим на примере:<br>
[[Файл:ortog_search_tree.png|600px]]<br>
Рассмотрим, как в такой структуре данных будет выглядеть поиск множества точек, находящихся в заданном прямоугольнике <tex>([x_{min}, x_{max}) ] \times ([y_{min}, y_{max})]</tex>. Для начала, найдем в дереве те точки, <tex>x</tex>-координата которых лежит в интервале <tex>([x_{min}, x_{max})]</tex>. Сделаем это следующим образом:
# Найдем в дереве поиска вершины с минимальной и максимальной <tex>x</tex>-координатой из прямоугольника запроса, добавим их в искомое множество, обозначим их как <tex>v_l</tex> и <tex>v_r</tex>.
# Добавим в искомое множество их наименьшего общего предка <tex>v_n</tex>.
Пример процесса показан на иллюстрации:<br>
[[Файл:ortog_search_tree2.png|700px]]<br>
В итоге, в множество мы добавим <tex>O(\log n)</tex> вершин и <tex>O(\log n)</tex> поддеревьев дерева поиска. Теперь нужно просеять полученное множество — извлечь из него те элементы, <tex>y</tex>-координата которых не лежит в интервале <tex>([y_{min}, y_{max})]</tex>. Для точек это сделать просто — нужно вручную проверить, лежит ли <tex>y</tex>-координата в нужном интервале. Для каждого из полученных поддеревьев обратимся к массиву содержащихся в нем точек и запустим от него приведенную выше функцию <tex>range{\_}search(y_{min}, y_{max})</tex>. Все полученные таким образом точки и будут составлять ответ.
<br>Каждая из функций <tex>range{\_}search(y_{min}, y_{max})</tex> будет работать в худшем случае за <tex>O(\log n)</tex>, отсюда получаем итоговое время выполнения запроса <tex>O(\log^2 n)</tex>. Что касается памяти, то в сбалансированном дереве поиска <tex>O(\log n)</tex> слоев, а каждый слой хранит массивы, содержащие в сумме ровно <tex>n</tex> точек, соответственно вся структура в целом занимает <tex>O(n\log n)</tex> памяти.
