418
правок
Изменения
→Эргодическая цепь
|definition=
'''Эргодическая''' марковская цепь — марковская цепь, целиком состоящая из одного эргодического класса.
}}
Пусть <tex> N_{i, j} </tex> — множество таких <tex> n </tex>, что находясь в состоянии <tex> i </tex>, можно оказаться в состоянии <tex> j </tex> через <tex> n </tex> шагов. <tex> d_i </tex> — наибольший общий делитель чисел из множества <tex> N_{i, i} </tex>.
{{Лемма
|statement=
Для <tex> i </tex> и <tex> j </tex>, принадлежащих одному классу эквивалентности, <tex> d_i = d_j = d </tex> и числа из множества <tex> N_{i, j} </tex> сравнимы между собой по модулю <tex> d </tex>.
|proof=
Пусть <tex> a \in N_{i, j}, \ b \in N_{i, j}, \ c \in N_{j, i} </tex>. Из <tex> i </tex> можно попасть в <tex> j </tex> и обратно, значит, <tex> a + c \in N_{i, i} </tex>. Также после попадания в <tex> j </tex> можно сколько угодно раз перейти из него в самого себя, и только потом перейти в <tex> i </tex>, для этого понадобится <tex> a + k \cdot d_j + c </tex> шагов при любом достаточно большом <tex> k </tex>. Значит, <tex> d_j </tex> должно делиться на <tex> d_i </tex>. Но аналогично можно доказать, что <tex> d_i </tex> делится на <tex> d_j </tex>, поэтому <tex> d_i = d_j = d </tex>. Также можно перейти за <tex> b </tex> шагов в <tex> j </tex>, а потом попасть в <tex> i </tex>, поэтому <tex> b + c \in N_{i, i} </tex>. Значит, <tex> a + c </tex> и <tex> b + c </tex> оба делятся на <tex> d </tex>, то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex> сравнимы между собой по модулю <tex> d </tex>.
}}
Введём числа <tex> t_{i, j}, 0 \leqslant t_{i, j} < d </tex>, так, что любой элемент из <tex> N_{i, j} </tex> сравним с <tex> t_{i, j} </tex> по модулю <tex> d </tex>.
{{Определение
|definition=
'''Циклический класс''' — класс, для любых элементов <tex> i </tex> и <tex> j </tex> которого верно равенство <tex> t_{i, j} = 0 </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
}}
=== Поглощающая цепь ===
