Изменения

# Схема не содержит элементов <tex>\neg</tex>. Вместо этого удвоим число В самом деле, вместо схемы с элементами <tex>\neg</tex> можно рассмотреть эквивалентную ей схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> с удвоенным числом входов, причем значения, подаваемые на добавленные входы будут противоположны значениям, подаваемым на исходные входы схемы.

* Индукционный переход. Допустим, что после <tex>i</tex>-ого шага глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить <tex>k_i</tex>. Если нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов, тогда уровень выше <tex>-</tex> из элементов <tex>\lor</tex>. Каждый <tex>\lor</tex> элемент можно считать <tex>k_i</tex>-ДНФ. Воспользуемся леммой. Пусть <tex>s = k_{i+1}</tex>, <tex>n~-</tex> число входов схемы, соответствующих рассматриваемому элементу <tex>\lor</tex>. Тогда в качестве <tex>t</tex> возьмем <tex>n - \frac{n}{\sqrt{n_i}}</tex>. Значит, с вероятностью не менее <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2}</tex> функцию нельзя представить в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ. Поскольку <tex>t</tex> выбиралось таким образом, то при переходе к следющему следующему шагу число входов схемы уменьшилось в <tex>\sqrt{n_i}</tex> раз, поэтому <tex>n_i = n_0^{1/2^i}.</tex> Тогда при достаточно больших <tex>n_0</tex> верно, что <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2} = \left(\frac{k_i^{10}}{n_0^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2} \le \frac{1}{10n_0^b}</tex>. В итоге получаем, что <tex>k_i</tex>-ДНФ можно переписать в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ с вероятностью не менее <tex>1 - \frac{1}{10n_0^b}</tex>. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из <tex>\land</tex> элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на <tex>1</tex>. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из <tex>\lor</tex> элементов.

Заметим, что лемма применяется не более, чем к <tex>n_0^b</tex> элементам исходной схемы. Тогда с вероятностью не менее <tex>1 - \frac{n_0^b}{10n_0^b} = \frac{9}{10}</tex> после (<tex>d-2</tex>)-ого шага получаем схему глубины <tex>2</tex>, у которой максимальная степень входа на нижнем уровне не больше <tex>k_{d-2}</tex>. По построению эта формула либо КНФ, либо ДНФ. Такую схему можно сделать постоянной, если правильно зафиксировать <tex>k_{d-2}</tex> переменных. Однако функцию, распознающую <tex>\oplus,</tex> невозможно сделать постоянной, зафиксировав не все переменные. Получили противоречие. Поскольку рассматривали произвольную схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex>, верно что <tex>\oplus \notin \mathrm{AC^0}.</tex>