Изменения
Нет описания правки
{{Требует доработки
|item1=(Исправлено)Надо доказать, что период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из '''симметричной''' части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>.
|item2=(Замечание) Теорему Лагранжа я перенес в другую статью. Ее сюда не надо добавлять :)
}}
* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
{{Теорема
|statement=
Период цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\cdots, a_n</tex> и <tex>2a_0</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>\alpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
Рассмотрим <tex>\sqrt{d}+[\sqrt{d}]</tex> - приведённая. Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta</tex>. Отсюда <tex>\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle</tex>. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.
}}
[[Категория:Теория чисел]]
