=Свзяь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта=
Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> \mu , \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>.
Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные Парето-фронты. Условие полунепрерывности необходимо для того, [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Индикатор Гиперобъема|чтобы существовало множество решение, максимизирующее индикатор гиперобъема]].
Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-фронта из n (<tex> \alpha _{OPT}</tex>) и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из n точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема (<tex> \alpha _{HYP}</tex>) и докажем, что для количества точек <tex> n </tex> они одинаковы, а именно <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>.
