Изменения

2) Рассмотрим произвольное разбиение Для любого $\varepsilon > 0 \exists \tau a = x_0 \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \dots < x_n = bigvee\limits_a^c(f, \tau)$. Заметим, что Однако в это разбиение может не войти точка $b$ может не войти в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда:

$ \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $.

$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) - \varepsilon \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.