355
правок
Изменения
→Признак Лейбница. Следствие.
=== Теорема об абсолютно сходящихся рядах ===
=== Признак Лейбница. Следствие. === {{Теорема|about=Признак Лейбница сходимости рядов|statement=Пусть посл-ть <tex>\{b_n\}</tex> монотонна, <tex>b_n\to0</tex>. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}b_k</tex> сходится.|proof=Для определенности предположим, что <tex>\{b_n\}</tex> убывает, и поэтому <tex>b_n \ge 0</tex>. Рассмотрим посл-ть <tex>\{S_{2m}\}</tex>. Она возрастает, поскольку <tex>S_{2m}-S_{2(m-1)}=b_{2m-1}-b_{2m}\ge0</tex>, и ограничена сверху, т.к. <tex>S_{2m}=b_1+(-b_2+b_3)+...+(-b_{2m-2}+b_{2m-1})-b_{2m}\le b_1</tex>. Поэтому <tex>\{S_{2m}\}</tex> сходится к некоторому пределу <tex>S</tex>. Но тогда и <tex>S_{2m+1} = S_{2m}+ b_{2m+1}\to S</tex>, поскольку <tex>b_{2m+1}\to 0</tex>. По [[#Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка|лемме о подпоследовательностях]] <tex>S_n\to S</tex>.}} '''Замечание 1.''' Т.к. <tex>S_{2m}=(b_1-b_2) + ... + (b_{2m-1}-b_{2m}\ge0</tex> и <tex>S_{2m}\le b_1</tex>, по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве|теореме о предельном переходе в неравенстве]] <tex>0 \le S \le b_1</tex>. Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, иногда называют ''лейбницевскими''. '''Замечание 2.''' ''Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку:'' <tex>0\le(-1)^n(S-S_n)\le b_{n+1}</tex>. Для доказательства нужно применить замечание 1 к остатку ряда.
=== Признаки Дирихле и Абеля для рядов ===
