355
правок
Изменения
→Теорема о перестановке слагаемых ряда
=== Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===
=== Теорема о перестановке слагаемых ряда === {{Теорема|about=Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>S, \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный: <tex>\forall k\in\mathbb{N} a_k\ge0</tex>. Обозначим<tex>S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n a_{\varphi(k)}</tex>. <tex>\forall n T_n\le S_m\le S,</tex> где <tex>m=max\{\varphi(1),...\varphi(n)\}</tex>. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> сходится, и его сумма <tex>T\le S</tex>. Доказано, что перестановка положительного ряда не увеличивает его сумму. Применяя это утверждение к перестановке <tex>\varphi^{-1}</tex>, получаем неравенство <tex>S\le T</tex>. 2. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex> вещественны. По [[#Признак сравнения сходимости положительных рядов|признаку сравнения]] положительные ряды с членами <tex>(a_k)_\pm</tex> сходятся. По доказанному ряды с членами <tex>(a_{\varphi(k)})_\pm</tex> сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> сходится как разность двух сходящихся рядов, причем <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}=\sum_{k=1}^\infty (a_{\varphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\infty(a_{\varphi(k)})_-=\sum{k=1}^\infty(a_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex> 3. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex> комплексные, <tex>x_k=\Re a_k, y_k=\Im a_k</tex>. Ряды с вещественными членами <tex>x_k, y_k</tex> абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.}} {{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\forall S\in\overline{\mathbb{R}} \exists</tex> перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>S</tex>. <tex>\exists</tex> перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.|proof=Докажем теорему, когда <tex>S\in[0,+\infty)</tex>. Пусть <tex>\{b_p\},\{c_q\}</tex> — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\sum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\infty c_q</tex> расходятся. Положим <tex>p_0=q_0=0</tex>. Обозначим через <tex>p_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_1} b_p>S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p</tex>. Затем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_1, q_1</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>. Продолжим построение неограниченно. Пусть номера <tex>p_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{s-1}</tex> уже выбраны. Обозначим через <tex>p_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p<S-\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S<\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_s}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q< S\le\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>. Ряд <tex>b_1+...+b_{p_1}+c_1+...+c_{q_1}+...+b_{p_{s-1}+1}+...+b_{p_s}+...+c_{q{s-1}}+...+c_{q_s}+...</tex> получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к <tex>S</tex>. Сгруппировав члены одного знака, получим ряд <tex>B_1+C_1+...+B_s+C_s+...</tex>; обозначим его частные суммы через <tex>T_n</tex>. По построению <tex>0<T_{2s-1}-S\le b_{p_s}, c_{q_s}\le T_{2s}-S<0</tex>. Поскольку ряд <tex>a_k</tex> сходится, <tex>b_s,c_s\to0</tex>. Следовательно, <tex>T_n\to S</tex>. По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к <tex>S</tex>.}}
=== Теорема о произведении рядов ===
