1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
{{В разработке}}
{{Определение
|definition=<tex>\|f\|_C = \sup |f(x)|</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E_n(f)_C\ln n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда <tex>\sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>.
|proof=
Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.
Другими словами, ряд Фурье будет сходиться к <tex>f</tex> равномерно в смысле средних арифметических.
Теперь рассмотрим случай <tex> f \notin C </tex>. Пусть <tex>T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения <tex> f </tex> в <tex>C</tex>, то:
<tex>E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex>
Значит, <tex>s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f(x))</tex>
<tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) = </tex> (применяя интеграл Дирихле)
<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>.
Поэтому, <tex>|s_n(f, x) - f(x)| \le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |D_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Итого: <tex>\|s_n(f) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\|_C + \|f-T_n\|_C = \left(\int\limits_Q |D_n(t)| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
Пусть <tex> \int\limits_Q |D_n(t)| dt = l_n </tex>.
Тогда <tex>\|s_n(f)-f\|_C \le (l_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> (по теореме Вейерштрасса)
Если <tex>l_n E_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|S_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>l_n \sim \ln n</tex>, получаем искомый результат.
}}
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
Пусть <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>.
Можно представить <tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx </tex> как <tex> r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>.
Тогда <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>.
Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд Фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.
[[Интеграл Римана-Стилтьеса#Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации|С другой стороны]], для таких функций <tex>|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn</tex>, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{k^2}</tex>
<tex>< M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{k(k-1)}</tex>
<tex>= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)</tex>
<tex>= \frac{M_1}{n - 1}</tex>
Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
|proof=
Применим прошлую теорему. Получим, что сходится к числу <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>.
Так как функция непрерывна, <tex>f(x+0)=f(x-0)</tex>.
}}
==Примеры==
Приведём некоторые примеры на эту тему.
===Пример===
<tex>
f(x) = \begin{cases}
-1 &, x\in\langle-\pi; 0\rangle\\
1 &, x \in\langle0; \pi\rangle\\
\end{cases}
</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодично продолженная.
<tex>\langle\rangle</tex> можно ставить, так как
<tex>a_1(t) = \frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx </tex> {{---}} интеграл Лебега, на множестве нулевой меры
его можно менять как душе угодно.
Функция нечётная <tex>\Rightarrow</tex> коэффициенты при косинусах нулевые.
<tex>b_n(f) = \frac2\pi \int\limits_0^\pi \sin nx dx </tex>
<tex>=-\frac2\pi \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>=\frac2{\pi n} (1 - (-1)^n)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2k, k \in \mathbb{Z}\\
\frac{4}{\pi n} &, n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}</tex>
Составим ряд Фурье: <tex>\sigma(f, x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin (2m+1)x</tex>
Хотим найти сумму. Очевидно, <tex>f \in \bigvee</tex>
В любом случае, <tex>\sigma(f, x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
<tex>=\begin{cases}
0 &, x = 0\\
-1 &, x < 0\\
1 &, x > 0
\end{cases}</tex>
Значение в нуле:
<tex>\sigma(f, 0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin 0 = 0</tex>
Значение в <tex>\frac\pi2</tex>:
<tex>\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}</tex>
<tex>= \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1} = 1</tex>
===Пример===
<tex>f(x) = |x|</tex>, <tex>x \in \langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодически продолженная.
Получаем функцию из класса <tex>CV</tex>, ряд Фурье равномерно сходится к ней.
Функция чётная, значит, будут только слагаемые с косинусами:
<tex>a_n(f) = \frac2\pi \int\limits_Q x \cos nx dx</tex>
<tex>= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) </tex>
<tex>= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\
-\frac{4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}
</tex>; <tex>a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx = \pi</tex>
На <tex>\langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}</tex>
<tex>x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8</tex>
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
