Изменения

{{Определение|definition=<tex>\frac{a_0}2 + |f\sum\limits_{n|_C =1}^\infty sup |f(a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alphax)|</tex>}}

{{Утверждение|statement=Пусть <tex>a_n E_n(f)_C\cos nx + b_nln n \sin nx xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда <tex>\sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>.|proof= r_n Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], суммы Фейера <tex>\cossigma_n(nx + f) \phi_n)rightrightarrows f</tex>.Другими словами, где ряд Фурье будет сходиться к <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}f</tex>равномерно в смысле средних арифметических.

Теперь рассмотрим случай <tex>|a_n f \cos nx + b_n \sin nx| \le r_nnotin C </tex>. Пусть <tex>T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения <tex> f </tex> в <tex>C</tex>, то:

Если <tex>E_n(f)_C = \|f- T_n\in C|_C</tex>, то по теореме Фейера, в <tex>L_p</tex>s_n(T_n, суммы Фейера <tex>\sigma_nx) = T_n(fx) \rightrightarrows f</tex.Другим языком, ряд Фурье будет суммироваться к <tex>f</tex> методом средних арифметических равномерно.

Значит, согласно теореме Харди, учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{ks_n(f, x) - f(x) =n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn(s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f(x))</tex>, то <tex>= s_n(f- T_n, x) + T_n(x) \rightrightarrows - f(x) = </tex>, то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции (применяя интеграл Дирихле)<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>.

С другой стороныПоэтому, если составить разность <tex>|s_n(f,x) - f(x)</tex> и обозначить<tex>| \le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |D_n(t)| dt + |T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения в <tex>Cf(x)|</tex>.

Тогда Итого: <tex>E_n\|s_n(f)- f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\|_C = + \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n= \left(\int\limits_Q |D_n(T_n, xt)| dt + 1\right) = T_nE(xf)_C</tex>

Значит, Пусть <tex>s_n\int\limits_Q |D_n(f, x) - f(xt) | dt = (l_n </tex>. Тогда <tex>\|s_n(f,x)-T_nf\|_C \le (x)) l_n + (T_n(x1) - f_nE_n(xf)) + s_n_C</tex>, <tex>E_n(T_n, xf)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>(по теореме Вейерштрасса) Если <tex>= s_nl_n E_n(f - T_n)_C \to 0</tex>, x) + T_nто <tex>\|S_n(x) - f(x) \|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex> [применяя интеграл Дирихле]<tex>= \int\limits_Q (ff_n(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + (T_n(x) - \rightrightarrows f(x)</tex>на <tex>\mathbb{R}</tex>.

Поэтому, <tex>|f_n(f, x) - f(x)|</tex>Так как <tex>l_n \le sim \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|ln n</tex>, получаем искомый результат.}}

Итого: {{Теорема|author=Жордан|statement=Ряд Фурье <tex>2\|s_n(t) pi</tex>- периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу <tex>\frac{f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(tx-0)| dt ? \|+f-T_n\| (x+ \|f-T_n\|_C0)}2</tex>|proof=Пусть <tex>\sigma(f, x) = \left(frac{a_0}2 + \intsum\limits_Q limits_{n=1}^\|D_ninfty (t)a_n \| dt cos nx + 1b_n \right) E(fsin nx)_C</tex>.

Можно представить <tex>a_n \|f(x)-fcos nx + b_n\|_C sin nx </tex> как <tex> r_n \le cos(e_n nx + 1) E_n(f\phi_n)_C</tex>, где <tex>E_n(f)_C r_n=\to \inftysqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>.

Если Тогда <tex>e_nE_n(f)_C |a_n \to 0</tex>, то <tex>cos nx + b_n \sin nx|f_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex> <tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}le r_n</tex>.

Так как Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>e_n ~ \ln sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>, приходим к очередному признаку:{{Утверждение|statement=то <tex>E_ns_n(tf)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(rightrightarrows f)</tex> , то есть, ряд Фурье будет равномерно сходится сходиться к функции <tex>f</tex>|proof={{TODO|t=зарефакторить сюды то, что выше}}}}.

регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.

[[Интеграл Римана-Стилтьеса#Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации|С другой стороны]], для таких функций <tex>nx|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn</tex> Значит, соответственно, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.

<tex>\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{nk^2}</tex><tex>< M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{nk(nk-1)}</tex><tex>= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)</tex><tex>= \frac{MM_1}{n - 1}</tex>

Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>.}}

|authorstatement=Жордан|statement=Ряд Фурье Пусть <tex>2f\piin CV </tex>-периодической функции (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу ). Тогда <tex>\frac{f(forall x-0)+: f(x+0)}2</tex>раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

{{TODO|t=И егоПрименим прошлую теорему. Получим, и его!}}}} Мы оцениваем что сходится к числу <tex>\sum r_n^frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с ограниченной вариацией.

{{Теорема|statement=Так как функция непрерывна, <tex>f\in CV \Rightarrow \forall (x +0)=f(x-0)</tex> разкладывается в равномерносходящийся ряд Фурье|proof={{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}.

<tex>= \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}</tex><tex>= \frac4{\pi(2m+1)}</tex>

<tex>= \frac2{\pi n^2 [???? wtf why n^2?] } \cos nx \big|_0^\pi</tex>

-\frac{n4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\

</tex>; <tex>a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx</tex><tex>\frac2\pi \frac{\pi^2}2 = \pi</tex>

<tex>x = 0: \frac{\pi^2}8 = \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2}= \frac{\pi^2}8</tex>  [[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]